KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: II. modul: Valószínűség változó, valószínűségi eloszlások

5. lecke: Nevezetes eloszlások

| Tananyag
5.1. Diszkrét eloszlások
5.1.1. Karakterisztikus eloszlás
Tekintsünk egy adott kísérlethez tartozó tetszőleges A-eseményt, P( A )=p . Az A-esemény karakterisztikus valószínűségi változójának nevezzük ξ-t, ha
ξ={ 1.........h a.a z.A−e s e m é n y.k ö v e t k e z i k.b e 0.........h a.a z. A ¯ −e s e m é n y.k ö v e t k e z i k.b e .
A ξ diszkrét valószínűségi változót karakterisztikus eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, ξ=1 és ξ=0, és ezeket az értékeket:
P( ξ=1 )=1 és P( ξ=0 )=1−p=q
valószínűséggel veszi ( 0≤p≤1 ) .
Várható érték, szórás:
M( ξ )=1∗p+0∗q=p
D 2 (ξ)=M( ξ 2 )− [ M(ξ) ] 2 =p− p 2 =p(1−p)=p∗q D(ξ)= p q

| 1. bemutató feladat
Egy dobozban 20 golyó van, amelyek 1/4-e fehér, a többi piros. Legyen A-esemény az, hogy ha 1 golyót kiválasztunk találomra, az fehér lesz. Számítsuk ki a várható értéket és a szórást!
Megoldás:
ξ={ 1.........h a.a z.A−e s e m é n y.k ö v e t k e z i k.b e 0.........h a.a z. A ¯ −e s e m é n y.k ö v e t k e z i k.b e
Mivel P( A ) =5/20 és P( A ¯ ) =15/20
P( ξ=1 )=0,25 és P( ξ=0 )=1−p=0,75
M( ξ )=p=0,25
D 2 ( ξ )=p∗q=0,25∗0,75=0,1875
D( ξ )=0,433
5.1.2. Binomiális eloszlás
A valószínűség számítás gyakorlati alkalmazása szempontjából nagyon fontos az úgynevezett binomiális eloszlás vagy Bernoulli-féle eloszlás.
Legyen egy kísérlet valamely A-eseményének valószínűsége P( A )=p és a P( A ¯ )=1−p=q . A kísérletet egymástól függetlenül n-szer elvégezzük. Ilyen kísérletsorozatban legyen a ξ valószínűségi változó értéke az A-esemény bekövetkezéseinek száma. Annak valószínűsége, hogy egy kísérletsorozatban a ξ valószínűségi változó az xk=k (k=1, 2, ..., n) értéket veszi fel:
p k =P(ξ=k)=( n k )∗ p k ∗ q n−k ....(k=0,1,2,....n)
A ξ valószínűségi változót (n;p) paraméterű (n= pozitív egész szám; 0<p<1) binomiális eloszlásúnak nevezünk, ha a k lehetséges értékeket P( ξ )=k valószínűséggel veszi fel Ennek értelmében binomiális eloszlást követ a visszatevéssel történő mintavétel esetén a hibás darabok száma is.
A binomiális eloszlás várható értéke és szórása:
M( ξ )=n∗p
D 2 ( ξ )=n∗p∗q
D(ξ)= n∗p∗q

| 2. bemutató feladat
Becslések szerint az egyetemen tanuló diákok 20%-a egyszerre két szakon tanul (párhuzamos képzés). Véletlenszerűen kiválasztunk 20 hallgatót. Mi a valószínűsége annak, hogy ebben a 20 fős csoportban 6 olyan hallgató van, aki párhuzamos képzésben vesz részt?
Legyen ξ a kiválasztott hallgatók száma! Számítsuk ki a várható értéket és a szórást!
Megoldás:
p=0,2; n=20; k=6
a) p 6 =P(ξ=6)=( 20 6 )∗ 0,2 6 ∗ 0,8 14 =0,1091
b) M( ξ )=20∗0,2=4 D 2 ( ξ )=20∗0,2∗0,8=3,2 D(ξ)=1,7889
3. bemutató feladat
Az egy meccsre adható tippek: 1, 2, X. Ezeket egyenlő, 1 3 valószínűséggel választjuk. Jelölje a ξ valószínűségi változó a találatok számát. P( ξ≥10 )=?
Megoldás:
P( ξ≥10 )=P( ξ=10 )+P( ξ=11 )+P( ξ=12 )+P( ξ=13 ) P( ξ=k )=( ahányféleképpen kiválaszthatjuk a k db-ot )⋅( ezeket feltétlenül eltaláljuk )⋅( a többit nem )
Ezek alapján:
P( ξ=10 )=( 13 10 )⋅ ( 1 3 ) 10 ⋅ ( 2 3 ) 3 ≈1,435⋅ 10 −3
P( ξ=11 )=( 13 11 )⋅ ( 1 3 ) 11 ⋅ ( 2 3 ) 2 ≈1,957⋅ 10 −4
P( ξ=12 )=( 13 12 )⋅ ( 1 3 ) 12 ⋅ ( 2 3 ) 1 ≈1,631⋅ 10 −5
P( ξ=13 )=( 13 13 )⋅ ( 1 3 ) 13 ⋅ ( 2 3 ) 0 ≈6,272⋅ 10 −7
Így P( ξ≥10 )≈1,435⋅ 10 −3 +1,957⋅ 10 −4 +1,631⋅ 10 −5 +6,272⋅ 10 −7 ≈1,648⋅ 10 −3
Tehát annak valószínűsége, hogy legalább 10 találatunk lesz: 0,001648.

| 5.1.3. Hipergeometrikus eloszlás
Legyen N elemünk, melyből M darabot megkülönböztetünk a többi N-M darabtól. Ezután találomra kiválasztunk az N-elemből n darabot visszatevés nélkül, ahol M<N és n≤N−M . Legyen ξ valószínűségi változó értéke az n kiválasztott elem között levő megkülönböztetett elemek száma. A ξ az x k=k (k=0, 1, ..., n) értékeket ekkor a következő valószínűségekkel veszi fel:
p k =P(=k)= ( M k )∗( N−M n−k ) ( N n ) ....(k=0,1,2,...n)
A hipergeometrikus eloszlás a visszatevés nélküli mintavétel problémaköréhez tartozik.
A hipergeometrikus eloszlás várható értéke és szórása:
M( ξ )=n∗p , ahol p=M/N
D 2 (ξ)=n∗p∗q∗(1− n−1 N−1 ) D(ξ)= n∗p∗q∗(1− n−1 N−1 )
Ha M és N elég nagyok a k-hoz képest, akkor a hipergeometrikus eloszlás tagjait jól közelíthetjük az (n; M/N) paraméterű binomiális eloszlás megfelelő tagjaival. Ez abból adódik, hogy ha N elég nagy, akkor mindegy, hogy visszatevéses, vagy visszatevés nélküli a mintavétel.

| 4. bemutató feladat
Egy dobozban 9 golyó van, amelyek közül 4 db fekete. Találomra kiveszünk 3 golyót. A ξ valószínűségi változó értéke a kivett golyók között lévő fekete golyók száma. Számítsuk ki a valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását!
Megoldás:
N=9; M=4; n=3; k=0, 1, 2, 3
p 0 =P(ξ=0)= ( 4 0 )∗( 5 3 ) ( 9 3 ) .= 5 42
p 1 =P(ξ=1)= ( 4 1 )∗( 5 2 ) ( 9 3 ) .= 10 21
p 2 =P(ξ=2)= ( 4 2 )∗( 5 1 ) ( 9 3 ) .= 5 14
p 3 =P(ξ=1)= ( 4 3 )∗( 5 0 ) ( 9 3 ) .= 1 21
p=M/N=4/9
M(ξ)=3∗ 4 9 = 4 3 D(ξ)= n∗p∗q∗(1− n−1 N−1 ) = 3∗ 4 9 ∗ 5 9 ∗(1− 3 8 ) = 5 3
5. bemutató feladat
Egy osztályban 16 fiú és 10 lány van. Közülük találomra kiválasztunk egy 4 fős csoportot. A ξ valószínűségi változó értéke legyen a csoportban lévő lányok száma. Adjuk meg a ξ eloszlását és várható értékét!
Megoldás:
A ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, mert a 26 ember között van 10 kitüntetett, hiszen azt nézzük, hogy ebből a kitüntetett csoportból (vagyis a lányok közül) hányat választunk ki.
N=26; M=10; n=4; k=0, 1, 2, 3, 4
Így a megoldás:
P( ξ=0 )= ( 16 4 )⋅( 10 0 ) ( 26 4 ) ≈0,122 ;
P( ξ=1 )= ( 16 3 )⋅( 10 1 ) ( 26 4 ) ≈0,375 ;
P( ξ=2 )= ( 16 2 )⋅( 10 2 ) ( 26 4 ) ≈0,361 ;
P( ξ=3 )= ( 16 1 )⋅( 10 3 ) ( 26 4 ) ≈0,128
P( ξ=4 )= ( 16 0 )⋅( 10 4 ) ( 26 4 ) ≈0,014
M( ξ )=4⋅ 10 26 = 20 13 ≈1,538

| 5.1.4. Poisson eloszlás
Egy diszkrét ξ valószínűségi változót λ>0 paraméterű Poisson-eloszlásúnak nevezünk, ha az x k=k (k=0, 1, 2, ...) értékeket
P( ξ=k )= p k = λ k k! ⋅ e −λ , (k=0, 1, 2, ...)
valószínűségekkel veheti fel.
A ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem véges, hanem megszámlálhatóan végtelen.
Poisson-eloszlással általában azt modellezhetjük, hogy sok, egymástól független, egyenként nagyon kis valószínűséggel bekövetkező esemény közül hány darab következik be (tehát nem az a fontos, hogy melyik, hanem az, hogy összesen mennyi). Ilyen lehet pl. egy augusztusi éjszakán látott hullócsillagok száma, időegység alatt kapott telefonhívások száma, sajtóhibák száma egy oldalon stb.
Várható érték, szórás:
M( ξ )=λ D(ξ)= λ ahol λ=n∗ M N
A Poisson eloszlás jól közelíti a binomiális eloszlást, ha az abban szereplő n elég nagy és a p elég kicsi, pontosabban érvényes a következő:
lim⁡ n→∞ ( n k )∗ p k ∗ q n−k = λ k k! ∗ e −λ
Ha n a végtelenbe tart, akkor p a nullához tart úgy, hogy közben n∗p=λ>0 szorzat állandó érték marad.

| 6. bemutató feladat
Egy készülék meghibásodásainak száma átlagosan 10000 működési óra alatt 10, a meghibásodások száma csak a vizsgált időszak hosszától függ. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt elromlik!
Megoldás:
n=200; p=10/10000
λ=200∗ 10 10000 =0,2
Annak valószínűsége, hogy 200 óra alatt nem romlik el:
p 0 =P(ξ=0)= e −0,2
Annak valószínűsége, hogy 200 óra alatt elromlik el:
p 1 =1−P(ξ=0)=1− e −0,2 =0,18
7. bemutató feladat
Egy kéziratban 200 oldalon 400 sajtóhiba található. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy oldalon 0, 1 vagy 3-nál több hiba van?
Megoldás:
Egy oldalon minden egyes karakter igen kis valószínűséggel lesz hibás, ezek a hibák egymástól függetlenül következnek be, így az egy oldalon levő hibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető (jelöljük ξ-vel). Tudjuk, hogy a Poisson-eloszlás paramétere megegyezik az eloszlás várható értékével. Egy oldalon átlagosan 400 200 =2 sajtóhiba található, így az eloszlás paramétere: λ=2 .
Ez alapján:
P( ξ=0 )= 2 0 0! ⋅ e −2 = 1 e 2 ≈0,135
P( ξ=1 )= 2 1 1! ⋅ e −2 = 2 e 2 ≈0,271
P( ξ>3 )=1−P( ξ≤3 )= 1−( P( ξ=0 )+P( ξ=1 )+P( ξ=2 )+P( ξ=3 ) )= 1−( 1 e 2 + 2 e 2 + 2 2 2! ⋅ 1 e 2 + 2 3 3! ⋅ 1 e 2 )= 1− 19 3⋅ e 2 ≈0,143

| 5.1.5. Diszkrét egyenletes eloszlás
Egy ξ diszkrét valószínűségi változót diszkrét egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha a lehetséges értékeinek száma n∈ N + , és ezeket az x 1 , x 2 , …, x k ∈R értékeket egyenlő valószínűséggel veszi fel:
P(ξ= x k )= 1 n ...(k=1,2,...,n)
A ξ lehetséges értékeinek a száma nem lehet végtelen, ugyanis mindegyik érték egyenlően valószínű.
Várható érték és szórás:
M(ξ)= ∑ k=1 n p k ∗ x k = 1 n ∑ k=1 n x k D 2 (ξ)=M( ξ 2 )− [ M(ξ) ] 2 = 1 n ∑ x k 2 −( 1 n ∑ x k ) 2

| 8. bemutató feladat
Két pénzérmével dobunk. A kísérlethez tartozó eseménytér: II; IF; FI; FF (I=írás; F=fej)
A ξ valószínűségi változó jelentése a dobások száma: x1=1; x2=2; x3=3; x4=4
Határozzuk meg a várható értéket és a szórást!
Megoldás:
P( ξ=1 ) =P( ξ=2 ) =P( ξ=3 ) =P( ξ=4 ) = 1 4 M(ξ)= 1 4 (1+2+3+4)= 10 4 =2,5 D 2 ( ξ ) = 1 4 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ) - ( 2,5 ) 2 =1,25 D( ξ ) = 1,25 =1,118

| 5.2. Folytonos eloszlások
Ha a ξ valószínűségi változó folytonos, akkor bármely konkrét értéket 0 valószínűséggel vesz fel, tehát a ξ valószínűségi változó jellemzésére a sűrűségfüggvényt vagy az eloszlás függvényt kell használni.
5.2.1. Egyenletes eloszlás
Egy folytonos ξ valószínűségi változót az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:
f( x )={ 0, ha x≤a 1 b-a , ha a<x≤b 0, ha x>b ;
eloszlásfüggvénye:
F( x )={ 0, ha x≤a x-a b-a , ha a<x≤b 1, ha x>b .
ξ várható értéke:
M( ξ )= a+b 2 ,
szórása:
D( ξ )= b−a 12

| 9. bemutató feladat
Egy városi buszmegállóba 15 percenként érkeznek a buszok. Tegyük fel, hogy a buszmegállóba érkezve látjuk, hogy 1 percen belül jön a busz. Legyen ξ valószínűségi változó a várakozási idő. Írjuk fel a sűrűség és eloszlásfüggvényt, számítsuk ki a várható értéket és a szórást.
Megoldás:
a=1; b=15
f( x )={ 1 14 , ha 1<x≤1 5 0, minden más esetben
F( x )={ 0, ha x≤1 x-1 14 , ha 1<x≤1 5 1, ha x>1 5
M( ξ )= a+b 2 = 1+15 2 =8 p e r c
D( ξ )= b−a 12 = 14 12 =4,04 p e r c
10. bemutató feladat
Legyen ξ valamely pozitív intervallumon értelmezett egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Legyen továbbá M( ξ )=10 , D( ξ )= 3 . Határozzuk meg ξ sűrűség- és eloszlásfüggvényét!
Megoldás:
Az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke: a+b 2 , szórása: b−a 12 . Ezekkel a következő egyenletrendszert kapjuk:
a+b 2 =10 b−a 12 = 3 } ⇒ a+b=20 b−a= 36 =6 } ⇒ b=13 a=7
Ebből a sűrűségfüggvény: f( x )={ 0, ha x≤7 1 6 , ha 7<x≤13 0, ha x>13
az eloszlásfüggvény: F( x )={ 0, ha x≤7 x−7 6 , ha 7<x≤13 1, ha x>13 .

| 5.2.2. Exponenciális eloszlás
Egy folytonos ξ valószínűségi változót λ>0 paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:
f( x )={ 0, ha x≤0 λ⋅ e -λ x , ha x>0 ;
Ahol λ tetszőleges pozitív szám lehet, amelyet az eloszlás paraméterének nevezünk.
eloszlásfüggvénye:
F( x )={ 0, ha x≤0 1− e -λ x , ha x>0 .
ξ várható értéke:
M( ξ )= 1 λ ,
szórása:
D( ξ )= 1 λ .
Exponenciális eloszlással általában berendezések, alkatrészek élettartamát szokás modellezni.

| 11. bemutató feladat
Egy izzólámpa átlagos élettartama a gyári mérések szerint 1000 óra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az égő 1000 óránál hamarabb megy tönkre, ill. mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiszemelt égő 3000 órán belül mégsem megy tönkre?
Megoldás:
a) M( ξ=1000 )= 1 λ λ= 1 1000 P(ξ〈1000)=F(1000)=1− e − 1 1000 ∗1000 =1− e −1 =0,332
b) P(ξ≥3000)=1−P(ξ〈3000)=1−F(3000)=1−(1− e − 1 1000 ∗3000 )= e −3 =0,05
12. bemutató feladat
Egy bizonyos alkatrész első meghibásodásáig eltelt idő legyen exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 2000 óra várható értékkel. Írjuk fel a valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Mekkora annak a valószínűsége, hogy az alkatrész legalább 4000 óráig hibátlanul működik?
Megoldás:
Jelöljük a szóban forgó valószínűségi változót ξ-vel!
M( ξ )=2000 , és mivel exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért M( ξ )= 1 λ , vagyis az eloszlás paramétere λ= 1 2000 =0,0005 .
Így a sűrűségfüggvény: f( x )={ 0, ha x≤0 0,0005⋅ e −0,0005⋅x , ha x>0 ;
az eloszlásfüggvény: F( x )={ 0, ha x≤0 1− e −0,0005⋅x , ha x>0 .
A keresett valószínűség:
P( ξ≥4000 )=1−P( ξ<4000 )=1−F( 4000 )=1−( 1− e −0,0005⋅4000 )= e −2 ≈0,135 .
Vagyis az alkatrész 0,135 valószínűséggel működik hibátlanul legalább 4000 óráig.

| 5.2.3. Normális eloszlás
Egy folytonos ξ valószínűségi változót (m; σ) paraméterű normális eloszlásúnak nevezünk, ha a sűrűségfüggvénye:
f( x )= 1 σ 2 π ⋅ e − ( x−m ) 2 2 σ 2 ;
Ahol m valós szám, σ>0 , állandó.
Az f( x ) függvény görbéjét Gauss-görbének is és harang-görbének is nevezik. A függvény szimmetrikus az m-pontra és ez az egyetlen maximumhelye. Az m±σ helyeken van az f( x ) függvény inflexióspontja.
eloszlásfüggvénye:
F( x )=P( ξ<x )= 1 σ 2 π ⋅ ∫ −∞ x e − ( t−m ) 2 2 σ 2 d t .
ξ várható értéke:
M( ξ )=m ,
szórása:
D( ξ )=σ .
Az m = 0, σ=1 paraméterű normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük. Ennek sűrűség- és eloszlásfüggvényét görög betűvel jelöljük.
Sűrűségfüggvénye:
ϕ( x )= 1 2 π ⋅ e − x 2 2 ;
Eloszlásfüggvénye:
Φ( x )=P( ξ<x )= 1 2 π ⋅ ∫ −∞ x e − t 2 2 d t .
Ha ξ standard normális eloszlású, akkor fennáll, hogy:
P( −x≤ξ<x )=Φ( x )−Φ( −x )=Φ( x )−( 1−Φ( x ) )=2⋅Φ( x )−1 .
Ha ξ m, σ paraméterű normális eloszlású változó, akkor standardizáltja, az η= ξ−m σ valószínűségi változó standard normális eloszlású. A normális eloszlás a gyakorlatban legtöbbet használt eloszlás, szinte mindenhol előfordul.

| 13. bemutató feladat
Egy üzemben 2 m hosszú munkadarabokat gyártanak 3 cm szórással. 1000 db elkészítésekor várhatóan hány darab selejt keletkezik, ha a 195 és 205 cm közötti termékeket még elfogadhatónak tekinthetjük? (A munkadarabok mérete normális eloszlásúnak tekinthető.)
Megoldás:
A feladat szerint egy munkadarab mérete m=200 és σ=3 paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó, melyet jelöljünk ξ-vel. Annak valószínűsége, hogy egy elkészült munkadarab hossza 195 és 205 cm közé esik: P( 195≤ξ≤205 )=P( −5≤ξ−200≤5 )=P( − 5 3 ≤ ξ−200 3 ≤ 5 3 )
Mivel ξ normális eloszlású, ezért ha kivonjuk belőle a várható értékét és elosztjuk a szórásával, akkor standard normális eloszlású valószínűségi változót kapunk. Tehát a fenti valószínűségre írhatjuk, hogy:
Φ( 5 3 ) -Φ( - 5 3 ) =Φ( 5 3 ) -( 1-Φ( 5 3 ) ) =2⋅Φ( 5 3 ) -1≈ 2⋅Φ( 1,67 ) -1≈2⋅0,9525-1≈0,905 .
A Φ függvény értékét "A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényeinek értékei" című táblázatból kell kikeresni. Pl.: Φ( 1,67 ) : a táblázatban az oldallécben az 1,6-t a fejlécben a 7-es számot keressük meg, és a kettő találkozásánál van a 0,9525.
A kapott eredmény szerint 1000 darabból átlagosan 905 a megadott intervallumba esik, így átlagosan 95 selejtes munkadarab készül.
14. bemutató feladat
Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 10, szórása 3. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke
a) | kisebb, mint 10;
b) | 8 és 15 közé esik;
c) | Nagyobb, mint 0.
Megoldás:
Jelölje ξ a valószínűségi változónkat. Mivel most m=10 és σ=3 , ezért nem standard normális eloszlású valószínűségi változóval állunk szemben, vagyis a megoldás során a valószínűségi változót standardizálni kell. Erre azért van szükség, mert a standard normális eloszlás értékei állnak rendelkezésünkre táblázat formájában.
A standardizált valószínűségi változó: ξ * = ξ−m σ .
a) A esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb 10-nél.
P( A )=P( ξ<10 )=P( ξ−10 3 < 10−10 3 )=P( ξ−10 3 <0 )= P( ξ * <0 )=Φ( 0 )=0,5
b) B esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke 8 és 15 közé esik.
P( B )=P( 8<ξ<15 )=P( 8−10 3 < ξ−10 3 < 15−10 3 )= P( − 2 3 < ξ * < 5 3 )=Φ( 5 3 )−Φ( − 2 3 )=Φ( 5 3 )−( 1−Φ( 2 3 ) )= Φ( 5 3 )+Φ( 2 3 )−1≈0,9515+0,7454−1=0,6969
c) C esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke nagyobb, mint 0.
P( C )=P( ξ>0 )=1−P( ξ≤0 )=1−[ P( ξ<0 )+P( ξ=0 ) ]
Mivel folytonos eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért annak valószínűsége, hogy egy konkrét értéket felvesz, minden pontban 0. Így P( ξ=0 )=0 .
Ezzel P( C )=1−P( ξ<0 )=1−P( ξ−10 3 < 0−10 3 )= 1−Φ( − 10 3 )=1−( 1−Φ( 10 3 ) )=Φ( 10 3 )≈0,9995

| Önellenőrző kérdések
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| A ξ diszkrét valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, ξ=1 és ξ=0 .
| A ξ diszkrét valószínűségi változót karakterisztikus eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, ξ=1 és ξ=0 .
| A ξ diszkrét valószínűségi változót diszkrét egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, ξ=1 és ξ=0 .
2. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| A binomiális eloszlás várható értéke: M( ξ )=n∗p
| A binomiális eloszlás várható értéke: M( ξ )=n∗q
| A binomiális eloszlás várható értéke: M( ξ )=p∗q
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| A visszatevés nélküli mintavétel valószínűségi változója általában egyenletes eloszlású.
| A visszatevés nélküli mintavétel valószínűségi változója általában binomiális eloszlású.
| A visszatevés nélküli mintavétel valószínűségi változója általában hipergeometrikus eloszlású.
| A visszatevés nélküli mintavétel valószínűségi változója általában folytonos eloszlású.
4. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| A Poisson eloszlás esetében ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem véges, hanem megszámlálhatóan végtelen.
| A Poisson eloszlás esetében ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem véges, hanem végtelen.
| A Poisson eloszlás esetében ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem végtelen, hanem megszámlálhatóan véges.
| A Poisson eloszlás esetében ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza véges.
5. Megfigyelések szerint 1000 újszülöttből 516 a fiú és 484 a lánygyermek. A háromgyermekes családok közül egyet véletlenszerűen kiválasztunk. Legyen ξ valószínűségi változó a lánygyermekek száma. Határozza meg a várható értéket és a szórást!
a) Várható érték:
| 0,484
| 1,884
| 1,452
| 0,452
b) A szórás:
| 0,966
| 0,034
| 0,134
| 0,866
6. Az első évfolyamon 300 diák tanul, Annak valószínűsége, hogy Magyarország népességéből valaki milliomossá válik 0,5%-kal egyenlő. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy diák az évfolyamból milliomos lesz?
| 0,2231
| 0,7769
| 0,5000
| 0,8000
7. Egy üzletben 100 csomag kávé található. Tegyük fel, hogy ezek között 5 olyan csomag van, amelyek belsejében sorsjegy van. Egy vásárló 3 csomag kávét vásárol. Legyen ξ valószínűségi változó a 3 csomag között található sorsjegyet tartalmazó csomagok száma. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az egyik csomagban van sorsjegy?
| 0,0192
| 0,1203
| 0,1381
| 0,1498
8. Legyen ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású, amelynek várható értéke és szórása is 2. mekkora valószínűséggel vesz fel a ξ pozitív értéket?
| 0,36
| 0,13
| 0,28
| 0,42
9. Egy pénz automatánál állunk és várjuk, hogy az előttünk lévő befejezze a műveletet. Az illető véletlentől függő ideig van az automatánál. Az automata használatának sűrűségfüggvénye: f(x)={ 1 3 e − x 3 ......x〉0 0............x〈0 Az időt percben mérjük. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az automata használata 3 percnél tovább tart!
| 0,3831
| 0,3813
| 0,3679
| 0,3997