KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: I. modul: Valószínűség számítás

2. lecke: A valószínűség meghatározásának gyakori lehetőségei

| Tananyag
2.1. Klasszikus valószínűség
Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek azonos a valószínűsége, akkor klasszikus valószínűségről beszélünk.
Legyen A a kísérlettel kapcsolatos esemény, elemi eseményeinek száma pedig n. Ha egy A-esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor:
P(A)= k n
n: az összes lehetséges elemi esemény. k: az A-esemény bekövetkezésének szempontjából kedvező elemi események száma
A klasszikus képlet széles körű alkalmazási lehetőségei tárulnak fel az úgynevezett mintavételes feladatoknál.
2.1.1. Visszatevéses véletlen mintavétel
A véletlen mintavétel során egy halmazból véletlenszerűen választunk ki egy elemet, ezen elemek összességét véletlen mintának nevezzük. Ha a kiválasztott elemet a kivétel után megvizsgáljuk és visszatesszük a halmazba, akkor visszatevéses véletlen mintavételről beszélünk.
Legyen egy N-elemű halmazban M-számú megjelölt és N-M-számú jelöletlen elem. Vegyünk mintát úgy, hogy a kiválasztott elemet miután megvizsgáltuk, hogy milyen, visszatesszük. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy ilyen n-húzásból álló sorozatban a megjelölt elemek száma k lesz (a jelöletleneké pedig n-k).
Jelölje a szóban forgó eseményt Ak. Az Összes lehetőségek száma: N-elemből alkotható n-ed osztályú ismétléses variációk száma :Nn. A kérdezett eseményre nézve az a kedvező, ha k-számú kiválasztás a megjelölt elemekből történik, ilyen ismétléses variáció Mk-számú van, és ezek mindegyikéhez (N-M)n-k-féleképpen választható jelöletlen elemekből (n-k) darab. A k-számú jelölt elem ( n k ) -féle módon lehet kiválasztani, ezért a kedvező esetek száma:
( n k )∗ M k ∗ (N−M) n−k
( n k )= n! k!∗(n−k)!
Annak valószínűsége, hogy a kiválasztott n-elem között pontosan k-darab megjelölt elem van:
P( A k )=( n k )∗ M k ∗ (N−M) n−k N n
Legyen p a megjelölt, illetve q a jelöletlen elemek kiválasztásának valószínűsége. Így
p= M N és q= N−M N .
Ekkor
P( A k )=( n k )∗ p k ∗ q n−k (k=0, 1, 2, ..., n)
Ezt az összefüggést Bernoulli képletnek nevezzük. A P(Ak) helyett sokszor csak a Pk szimbólumot használjuk.

| 1. bemutató feladat
100 db termékből, melynek 10%-a hibás, visszatevéses módszerrel kiválasztunk 5 elemet. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a mintában 2 hibás elem kerül?
Megoldás:
N=100 | M=10 | N-M=90 | n=5 | k=2 | n-k=3
p= M N = 10 100 =0,1
q= N−M N = 90 10 =0,9
P( A 2 )=( 5 2 )∗ 0,1 2 ∗ 0,9 3 =0,0729
Tehát annak valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 elemből 2 hibás lesz, 0,0729.
2. bemutató feladat
Egy csomag magyar kártyából visszatevéses módszerrel 9 lapot választunk ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind a 8 piros lap a kihúzott kártyák között lesz?
Megoldás:
N=32 | M=8 | N-M=24 | n=9 | k=8 | n-k=1
p= M n = 8 32 =0,25
q= N−M n = 24 32 =0,75
P( A 2 )=( 9 8 )∗ 0,25 8 ∗ 0,75 1 =0,0001

| 2.1.2. Visszatevés nélküli véletlen mintavétel
Legyen egy N-elemű halmazban M-számú megjelölt és (N-M)-számú jelöletlen elem. Végezzük el a mintavételt úgy, hogy a kiválasztott elemet nem tesszük vissza. Ezt a mintavételt kétféleképpen lehet elvégezni. Kivehetjük az n-elemet egyszerre és egyesével is.
Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy ilyen n-húzásból álló sorozatban a megjelölt elemek száma k lesz (a jelöletleneké pedig n-k).
Jelölje a szóban forgó eseményt: Ak.
Ha az n-elem kiválasztása egyszerre történik, akkor az elemi események száma ( N n ) . A kedvező esetek száma pedig k, amelyet ( M k ) - kaphatunk meg. A kedvezőtlen esetek száma (n-k), ezeket pedig ( N−M n−k ) -féleképpen lehet kiválasztani. Így az Ak-esemény összesen ( M k )∗( N−M n−k ) módon valósulhat meg.
Annak valószínűsége, hogy a kiválasztott n-elem között pontosan k-darab megjelölt elem van:
P( A k )= ( M k )∗( N−M n−k ) ( N n ) (k=0, 1, 2, ..., n)
Ha az n-elemet egyesével választjuk ki, akkor is ugyan ezt a valószínűséget kapjuk.

| 3. bemutató feladat
100 db termékből, melynek 10%-a hibás, visszatevés nélküli véletlen mintavétellel kiválasztunk 5 elemet. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a mintában 2 hibás elem kerül?
Megoldás:
N=100 | M=10 | N-M=90 | n=5 | k=2 | n-k=3
P( A 2 )= ( 10 2 )∗( 90 3 ) ( 100 5 ) =0,0702
Tehát annak valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 elemből 2 hibás lesz, 0,0702.
4. bemutató feladat
Egy dobozban 3 fehér és 7 fekete golyó van. Mekkora annak a valószínűsége, hogy visszatevés nélkül négyet kihúzva pontosan 2 fehéret és 2 feketét választottunk ki?
Megoldás:
Legyen A-esemény: 2 fehéret és 2 feketét választottunk, és keressük. P( A )=t Tulajdonképpen 10 közül választunk 4-et úgy, hogy a sorrend nem számít, csak az, hogy egy golyót választunk-e vagy nem.
Összesen 10 golyó van, tehát az összes lehetőségek száma: n=( 10 4 )
A kedvező esetek száma: a 3 fehér közül kiválasztunk kettőt, a 7 fekete közül szintén kettőt, ezt rendre ( 3 2 ) és ( 7 2 ) -féleképpen tehetjük meg, vagyis a kedvező esetek száma: k=( 3 2 )∗( 7 2 )
Így a keresett valószínűség:
P( A 2 )= ( 3 2 )∗( 7 2 ) ( 10 4 ) = 3! 2!∗1! ∗ 7! 2!∗5! 10! 4!∗6! =0,3

| 2.2. Geometriai valószínűség
Ha egy kísérlettel kapcsolatos események egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetőek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége a megfelelő alakzat mértékével (hossz, terület, térfogat) arányos, akkor az események és valószínűségeik geometriai valószínűségi mezőt alkotnak.
Más megfogalmazásban: Ha feltehető, hogy egy geometriai alakzattal megadott H eseménytérben annak valószínűsége, hogy egy véletlen pont az A⊂H résztartományba esik, arányos az A-tartomány mértékével (amennyiben ez létezik), geometriai valószínűségről beszélünk
Legyen A-esemény egy kísérlettel kapcsolatos. A kísérlettel kapcsolatban szóba jövő teljes geometriai alakzat mértéke M, az A-eseménynek megfelelő részhalmazok mértéke pedig m, akkor az A-esemény bekövetkezésének valószínűsége:
P(A)= m M

| 5. bemutató feladat
Két ember találkozót beszél meg. 6 és 7 óra között véletlenszerűen érkeznek meg a megbeszélt helyre, és várnak társuk érkezéséig. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az előbb érkezőnek 10 percnél többet kell várnia?
Megoldás:
A-esemény: 10 percnél többet kell várni valamelyiküknek. Az érkezési időpontokat a 6 óra után eltelt percekkel adjuk meg. Érkezzen az egyik x, a másik y időpontban. Akkor kell 10 percnél többet várni valamelyiknek, ha | x−y |>10 . Ábrázoljuk ezt a ponthalmazt!
I. y<x-10 vagy II. y>10+x
A kedvező eseménynek megfelelő rész területe: m = 50×50/ 2 + 50×50 /2 =2500. A teljes négyzet területe: M =60×60=3600. Vagyis a keresett valószínűség: P(A)= m M = 2500 3600 =0,694
6. bemutató feladat
A Duna egyik szakaszán jégtorlasz keletkezett, amelyet robbantással lehet csak eltávolítani. A robbantás akkor hatásos, ha olyan pontra esik a robbanóanyag, ahol a jég 8 cm-nél vékonyabb. A jég teljes felülete 3000 m2, és csak 500 m2 területen vékonyabb a jég 8 cm-nél. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a jégtorlaszra eső robbanóanyag hatásos?
Megoldás:
M=3000 m2; m=500m2
P(A)= m M = 500 3000 = 1 6 =0,1667

| Önellenőrző feladatok
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Ha egy kísérletnek véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek változó a valószínűsége, akkor klasszikus valószínűségről beszélünk.
| Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek azonos a valószínűsége, akkor klasszikus valószínűségről beszélünk.
| Ha egy kísérletnek csak végtelen sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek azonos a valószínűsége, akkor klasszikus valószínűségről beszélünk.
| Ha egy kísérletnek csak végtelen sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek változó a valószínűsége, akkor klasszikus valószínűségről beszélünk.
2. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| A véletlen mintavételi eljárásokat csak visszatevéses módszerrel lehet végrehajtani.
| A véletlen mintavételi eljárásokat csak visszatevés nélküli módszerrel lehet végrehajtani.
| A véletlen mintavételi eljárásokat visszatevéses és visszatevés nélküli módszerrel lehet végrehajtani.
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Geometriai valószínűség esetén az A-esemény valósszínűsége: P ( A ) = m M
| Geometriai valószínűség esetén az A-esemény valósszínűsége: P( A )= n N
| Geometriai valószínűség esetén az A-esemény valósszínűsége: P( A )= M N
4. Egy raktárba érkezett áru 3%-a selejt. Visszatevéses módszerrel 100 elemű mintát választunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy selejtek darabok aránya 2,5-3-5% lesz?
| 0,3213
| 0,3013
| 0,2275
| 0,2975
5. Egy dobozban 20 golyó található, amelynek 10%-a fehér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy visszatevés nélkül 4 golyót kiválasztva nem lesz köztük fehér?
| 0,52
| 0,42
| 0,53
| 0,63
6. Egy dobozban 5 fehér, 2 fekete és 3 piros golyó van. Mennyi a valószínűsége annak, hogy visszatevés nélkül 6 golyót egyszerre kiválasztva azok között 2 fehér, 1 fekete és 3 piros lesz?
| 0,095
| 0,100
| 0,185
| 0,190
7. Egy ember elfelejtette felhúzni az óráját, és az így megállt. Feltételezzük, hogy annak valószínűsége, hogy a nagymutató a számlap kerületének valamely megadott ívén áll meg, arányos az ív hosszával. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a nagymutató a 3-as és a 6-os között áll meg?
| 0,33
| 0,25
| 0,66
| 0,50
8. Egy távbeszélő állomás és a központi vezeték távolsága 450 m. Mi a valószínűsége annak, hogy az első hiba a vezetéknek a központtól 180 m-nél távolabbi helyen lép fel, ha a vezeték mentén bárhol azonos a meghibásodás veszélye?
| 0,4
| 0,7
| 0,5
| 0,6
9. Egy osztályba 18 fiú és 12 lány jár. Történelemből ketten felelnek. Mi a valószínűsége, hogy mindkét felelő fiú?
| 0,433
| 0,666
| 0,423
| 0,352
10. Matematikából egy alkalommal 30 fő vizsgázott (20 lány, 10 fiú). Sajnos, csak 12 ember vizsgája volt sikeres. Mi a valószínűsége, hogy 6 fiú és 6 lány ment át?
| 0,121
| 0,094
| 0,018
| 0,118