KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: II. modul: Valószínűség változó, valószínűségi eloszlások

4. lecke: Valószínűségi változó

| Tananyag
4.1. A valószínűségi változó fogalma
A véletlen tömegjelenségeken megfigyelt változót, amely azzal jellemzi a véletlen tömegjelenséget, hogy konkrét értékeit különböző valószínűséggel veszi fel, valószínűségi változónak nevezzük.
Azaz: ha egy T-eseménytér elemi eseményeihez 1-1 számértéket rendelünk, így egy függvényt értelmezünk, amelyet valószínűségi változónak nevezünk, és ξ-vel (kszí) jelöljük.
A valószínűségi változó pontos értékét nem tudjuk előre meghatározni, viszont tudjuk, hogy milyen értékei lehetségesek, azaz ismerjük a valószínűségi változó értékkészletét.
Ha a valószínűségi változó csak egymástól különálló meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk; röviden diszkrét valószínűségi változónak nevezzük.
Ha a valószínűségi változó egy megadott intervallum összes értékét felveheti, akkor folytonos eloszlású valószínűségi változóról beszélünk; röviden folytonos valószínűségi változónak nevezzük.
Legyen Ak a T-eseménytér azon elemi eseményeinek a részhalmaza, amelyekhez ξ az xk-értéket rendeli, akkor a
p k =P( ξ= x k )=P( A k )
valószínűségeket a ξ-változó eloszlásának nevezzük, és azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó az xk-értéket pk valószínűséggel veszi fel. Az A k-események teljes eseményrendszert alkotnak, ezért:
∑ k=1 ∞ p k = ∑ K=1 ∞ p(ξ= x k ) = ∑ k=1 ∞ P( A k )=1

| 1. bemutató feladat
Kétszer feldobunk egy érmét egymás után. A két dobás négy azonos valószínűséget eredményezhet: ff; if; fi; ii
Megoldás:
A fej és az írások valószínűsége egyaránt 1/2=0,5, így mind a négy esemény bekövetkezésének valószínűsége 1/4=0,25
A ξ valószínűségi változó egyenlő a "fej-dobások" számával. A fej értékeinek száma: 0, 1 és 2 lehet. Az egyes értékek a következő valószínűségeket vehetik fel:
p 2 =P( ξ=2 )=0,25
p 1 =P( ξ=1 )=0,50
p 0 =P( ξ=0 )=0,25
∑ p k =0,25+0,5+0,25=1
2. bemutató feladat
Egy pakli magyar kártyából kétszer húzunk úgy, hogy a kihúzott lapot visszatesszük. Jelentse ξ a kihúzott piros lapok számát. Írjuk fel ξ-eloszlását!
Megoldás:
Mivel kétszer húzunk, ezért a kihúzott pirosak száma lehet 0, 1, 2. A pakliban 32 lap van, ebből 8 piros (24 nem piros). Tehát annak valószínűsége, hogy egy húzás alkalmával pirosat húzunk: 8/32 = 1/4=0,25. Nyilván a nem piros valószínűsége 3/4=0,75.
| Annak valószínűsége, hogy nem húzunk pirosat: 3/4* 3/4 = 9/16
| Annak valószínűsége, hogy két pirosat húzunk: 1/4* 1/4 = 1/16
| Annak valószínűsége, hogy egy pirosat húzunk: 2*1/4* 3/4 = 6/16 (most a pirosat húzhatjuk elsőre vagy másodikra is)
p 2 =P( ξ=2 )= 1 16
p 1 =P( ξ=1 )= 6 16
p 0 =P( ξ=0 )= 9 16

| 4.2. Eloszlásfüggvény
A P( ξ<x ) értéke csak x értékétől függ, tehát x-nek függvénye, ezért F( x )=P( ξ<x ) jelölést alkalmazzuk. Az F( x ) függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Egy ξ valószínűségi változó F( x ) eloszlásfüggvénye azt adja meg, hogy milyen valószínűséggel vesz fel a ξ az x-nél kisebb értéket.
Az F( x ) eloszlásfüggvény tulajdonságai:
a) | 0≤F( x )≤1
b) | F( x ) monoton nő, azaz F( x 2 )≥F( x 1 ) , ha x 2 ≥ x 1
c) | lim⁡ x→−∞ F(x)=0 (lehetetlen esemény)
d) | lim⁡ x→∞ F(x)=1 (biztos esemény)
e) | Minden helyen balról folytonos, azaz lim⁡ x→ x 0 −0 F(x)=F( x 0 )
f) | P(ξ=a)= lim⁡ x→a+0 F(x)=F(a)
g) | P( ξ≥a )=1−P( ξ<a )=1−F( a )
h) | P( a≤ξ<b )=F( b )−F( a ) . Ez egy nem folytonos függvény, úgynevezett lépcsős függvény, mert ξ valószínűségi változó diszkrét.
i) | Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F(x)=P(ξ〈x)= ∑ x i <x P(ξ= x i )

| 3. bemutató feladat
Kétszer feldobunk egy érmét egymás után. A két dobás négy azonos valószínűséget eredményezhet: ff; if; fi; ii
A fej és az írások valószínűsége egyaránt 1/2=0,5, így mind a négy esemény bekövetkezésének valószínűsége 1/4=0,25
A ξ valószínűségi változó egyenlő a "fej-dobások" számával. A fej értékeinek száma: 0, 1 és 2 lehet. Az egyes értékek a következő valószínűségeket vehetik fel:
p 2 =P( ξ=2 )=0,25
p 1 =P( ξ=1 )=0,50
p 0 =P( ξ=0 )=0,25
Megoldás:
A diszkrét ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:
F( 1 )=P( ξ<1 )= p 0 = 1 4
F( 2 )=P( ξ<2 )= p 0 + p 1 = 1 4 + 1 2 = 3 4
F( 3 )=P( ξ<3 )= p 0 + p 1 + p 2 = 1 4 + 1 2 + 1 4 =1
Így a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:
F(x)={ 0,...x≤0 1 4 ;..0<x≤1 3 4 ;...1<x≤2 1.....2<x ...x∈R
4. bemutató feladat
Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő:
F( x )={ 0, ha x≤2 x−2 3 , ha 2<x≤5 1, ha x>5
Határozzuk meg a következő valószínűségeket:
a) | P( ξ<3 )
b) | P( ξ=4 )
c) | P( ξ>4 )
d) | P( 3≤ξ<4,5 )
e) | P( ξ<1 )
f) | P( ξ>6 )
g) | P( 0≤ξ<3 )
Megoldás:
a) P( ξ<3 )=F( 3 )= 3−2 3 = 1 3
b) P( ξ=4 )= lim⁡ x→4+ F( x )−F( 4 )= 2 3 − 2 3 =0 , mivel F( x ) folytonos függvény (azt is mondhattuk volna, hogy ξ folytonos eloszlású, tehát az egyenlőség valószínűsége 0).
c) P( ξ>4 )=1−P( ξ≤4 ) , hiszen P( A )=1−P( A ¯ ) . Továbbá P( ξ≤4 )=P( ξ<4 )+P( ξ=4 )=F( 4 )+0= 4−2 3 = 2 3 . Így a keresett valószínűség: P( ξ>4 )=1− 2 3 = 1 3 .
d) P( 3≤ξ<4,5 )=F( 4,5 )−F( 3 )= 4,5−2 3 − 3−2 3 = 2,5 3 − 1 3 = 1,5 3 =0,5 .
e) Jusson eszünkbe, hogy F(x) 2-nél kisebb értékekre 0, így P( ξ<1 )=F( 1 )=0 .
f) P( ξ>6 )=1−P( ξ≤6 )=1−[ P( ξ=6 )+P( ξ<6 ) ]=1−[ 0+F( 6 ) ]=1−( 0+1 )=0 , hiszen F( x ) 5-nél nagyobb x-ekre 1.
Megjegyzés: az előző két pontra úgy is válaszolhattunk volna, hogy ξ értékei 2 és 5 közé esnek, ezért az 1-nél kisebb és a 6-nál nagyobb értéknek is 0 a valószínűsége.
g) P( 0≤ξ<3 )=F( 3 )−F( 0 )= 3−2 3 −0= 1 3 .
h) P( 0≤ξ<10 )=F( 10 )−F( 0 )=1−0=1 .

| 4.3. Sűrűségfüggvény
Ha a ξ valószínűségi változóhoz tartozó F( x ) függvény folytonos és differenciálható, akkor folytonosnak nevezzük a ξ valószínűségi változót és annak eloszlását is. Ebben az esetben fennáll, hogy
F ′ ( x )=f( x )
Egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük az f( x ) függvényt, ha ezzel a ξ valószínűségi változó F( x ) eloszlásfüggvénye az alábbi módon adható meg:
F(x)= ∫ -∞ ∞ f(t)d t
Az f( x ) sűrűségfüggvény tulajdonságai:
a) | Mivel ξ értéke −∞ és +∞ közé esik, ezért: ∫ −∞ ∞ f(x)d x=1
b) | f( x )>0
c) | P(ξ<a)=F(a)= ∫ −∞ a f(t)d t
d) | P(ξ≥a)=1−F(a)=1− ∫ a ∞ f(t)d t
e) | A számegyenes minden (a,b) intervalluma esetén: F(b)−F(a)=P(a<ξ<b)= ∫ a b f(x)d x fennáll.

| 5. bemutató feladat
Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:
F(x)={ 0.............x≤0 2 x− x 2 ...0〈x≤1 1...............1〈x
Megoldás:
A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvényét az F( x ) eloszlásfüggvény szakaszonkénti deriválásával kapjuk, azaz
f(x)={ 0.............x≤0 2−2 x...0〈x≤1 0...............1〈x
6. bemutató feladat
A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
f(x)={ 0.............x≤2 a x 3 ..........2〈x , határozzuk meg az a-együttható értékét. Írjuk fel a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét.
Megoldás:
∫ −∞ ∞ f(x)d x=1 , adott függvényünkre ∫ 2 ∞ a x 3 d x=1 , ebből fejezzük ki a-együtthatót:
a= 1 ∫ 2 ∞ d x x 3 .
Végezzük el az integrálást:
∫ 2 ∞ d x x 3 = ∫ 2 ∞ x −3 d x= [ x −2 −2 ] 2 ∞ = [ −1 2 x 2 ] 2 ∞ =0−( −1 2∗ 2 2 )= 1 8
Helyettesítsünk vissza a-együttható képletébe:
a= 1 1 8 =8
Legyen x>2, ekkor:
∫ −∞ ∞ f(t)d t= ∫ 2 x 8 t 3 d t=8 ∫ 2 x t −3 d t=8 [ t −2 −2 ] 2 x=8 [ −1 2 t 2 ] 2 x=8( −1 2 x 2 + 1 8)=1− 4 x 2
Tehát az eloszlásfüggvény:
F(x)={ 0...........x≤2 1− 4 x 2 ...x〈2

| 4.4. Várható érték
Az eloszlásfüggvény teljes mértékben meghatározza a valószínűségi változó ingadozásait. Adott esetben azonban mégis előfordulhat, hogy szeretnénk a véletlen ingadozást egyetlen számértékkel jellemezni.
Ha ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2, ..., xn, amelyeket p1, p2, ..., pn valószínűséggel vesz fel, akkor a ξ valószínűségi változó lehetséges értékeiből ezek valószínűségeinek, mint súlyokkal képezett középértéket a ξ valószínűségi változó várható értékének nevezzük. Jelölése:
M(ξ)= ∑ p k ∗ x k
Ha a ξ valószínűségi változó végtelen sok diszkrét értéket vehet fel, akkor a várható értéket csak akkor értelmezzük, ha a fenti képlet abszolút konvergens, vagyis
∑ k=1 ∞ (| x k | ∗ p k )〈∞
Ha a ξ folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye f( x ) , akkor a várható értéke:
M(ξ)= ∫ −∞ ∞ x∗f(x)d x ,
feltéve, hogy ∫ −∞ ∞ x∗f(x)d x konvergens. Ellenkező esetben a diszkrét, illetve folytonos valószínűségi változónak nincs várható értéke.

| 7. bemutató feladat
Kockadobásnál a ξ valószínűségi változó a dobott szám értékével egyenlő. Számítsuk ki a várható értéket!
Megoldás:
xk=k (k=1, 2, ..., 6); pk=1/6
M(ξ)= ∑ p k ∗ x k = ∑ k=1 6 1 6 x k = 1 6 (1+2+3+4+5+6)=3,5
8. bemutató feladat
Ha egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
f(x)={ 0...........x≤0 2−2 x...0〈x≤1 0...........1〈x .
Számítsuk ki a várható értéket!
Megoldás:
M(ξ)= ∫ −∞ ∞ x∗f(x)d x = ∫ 0 1 x(2−2 x)d x = ∫ 0 1 (2 x−2 x 2 )d x = [ 2 x 2 2 − 2 x 3 3 ] 0 1=(1− 2 3)−0= 1 3
9. bemutató feladat
Egy dobókockát háromszor elgurítunk. Jelentse ξ a dobott hatosok számát. Számítsuk ki ξ várható értékét!
Megoldás:
ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. A hozzájuk tartozó valószínűségek:
P( 0 db hatos )= ( 5 6 ) 3 = 125 216
P( 1 db hatos )=3⋅ 1 6 ⋅ ( 5 6 ) 2 = 75 216
P( 2 db hatos )=3⋅ ( 1 6 ) 2 ⋅ 5 6 = 15 216
P( 3 db hatos )= ( 1 6 ) 3 = 1 216
Ugyanis minden dobásnál hatféle lehetőségünk van, ez a három dobásra így 6⋅6⋅6=216 -féle lehetőség. Ha nem dobunk hatost, akkor minden dobásnál 5 lehetőségünk van, ez így 5⋅5⋅5=125 eset. Ha egy hatost dobunk, akkor ezt háromféleképpen tehetjük (elsőre, másodikra vagy harmadikra) a nem hatosokra pedig 5⋅5 -féle lehetőség van, ez így 3⋅5⋅5=75 eset. A két hatos esete hasonlóan számítható, itt 15 esetet kapunk, három hatost pedig csak egyféleképpen dobhatunk.
Így ξ eloszlása
ξ:{ 0 1 2 3 125 216 75 216 15 216 1 216
ξ várható értéke:
M( ξ )=0⋅ 125 216 +1⋅ 75 216 +2⋅ 15 216 +3⋅ 1 216 = 108 216 = 1 2

| 4.5. Szórás
Egy ξ valószínűségi változó várható értéke azt a számértéket jelenti, amely körül a változó véletlen ingadozásokat mutat, de az ingadozás mértékét nem lehet megállapítani. Ezt az ingadozást a szórás mutatja meg. Ennek négyzete a szórásnégyzet, amely ξ és M( ξ ) eltérésnégyzetének várható értéke.
A ξ valószínűségi változó szórásnégyezetén a
D 2 (ξ)=M{ [ ξ−M(ξ) ] 2 }=M( ξ 2 )− M 2 ( ξ )
kifejezést értjük
A szórást D( ξ ) -vel jelöljük:
D(ξ)= M{ [ ξ−M(ξ) ] 2 } = M( ξ 2 )− M 2 ( ξ )
Ha ξ diszkrét valószínűségi változó, amely az x1, x2, ..., xn értékeket p1, p2, ..., pn valószínűséggel veszi fel, akkor a ξ valószínűségi változó szórásnégyezete:
D 2 (ξ)= ∑ k=1 ∞ x k 2 ∗ p k − ( ∑ k=1 ∞ x k ∗ p k ) 2
Ha a ξ folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye f(x), akkor a szórásnégyzet értéke - amennyiben létezik -:
D 2 (ξ)= ∫ −∞ ∞ x 2 ∗f(x)d x − [ ∫ −∞ ∞ x∗f(x)d x ] 2

| 10. bemutató feladat
Kockadobásnál a ξ valószínűségi változó a dobott szám értékével egyenlő. Számítsuk ki a szórást!
Megoldás:
xk=k (k=1, 2, ..., 6); pk=1/6
M(ξ)= ∑ p k ∗ x k = ∑ k=1 6 1 6 x k = 1 6 (1+2+3+4+5+6)= 21 6
D 2 (ξ)=M{ [ ξ−M(ξ) ] 2 }=M( ξ 2 )− M 2 ( ξ )
M( ξ 2 )= ∑ k=1 6 p k ∗ x k 2 = 1 6 ∑ k=1 6 ( 1+4+16+25+36 )= 91 6 [ M( ξ ) ] 2 = ( 21 6 ) 2 = ( 7 2 ) 2 = 49 4 D 2 ( ξ )= 91 6 − 49 4 = 35 12 D( ξ )= 49 12 =1,71
11. bemutató feladat
Ha egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
f(x)={ 0...........x≤0 2−2 x...0〈x≤1 0...........1〈x .
Számítsuk ki a szórást!
Megoldás:
M(ξ)= ∫ −∞ ∞ x∗f(x)d x = ∫ 0 1 x(2−2 x)d x = ∫ 0 1 (2 x−2 x 2 )d x = [ 2 x 2 2 − 2 x 3 3 ] 0 1=(1− 2 3)−0= 1 3
D 2 ( ξ ) = ∫ -∞ ∞ x 2 *f( x ) d x - [ ∫ -∞ ∞ x*f( x ) d x ] 2 = ∫ 0 1 x 2 *( 2-2 x ) d x - ( 1 3 ) 2 = [ 2 x 3 3 - 2 x 4 4 ] 0 1 - 1 9 = = 1 6 - 1 9 = 1 18 D( ξ ) = 1 18 =0,236

| 4.6. A valószínűségi változó néhány jellemzője
4.6.1. Medián
Valamely ξ valószínűségi változó mediánja, m e d( ξ ) az a szám, amelyre:
P(ξ〈m e d(ξ))≤ 1 2 és P(ξ≤m e d(ξ))〉 1 2 , ha ξ valószínűségi változó diszkrét, és
P(ξ〈m e d(ξ))=F(m e d(ξ))= 1 2 , ha ξ valószínűségi változó folytonos.
Azaz a medián általában az a szám, amelytől kisebb, illetve nagyobb értékeket egyenlő valószínűséggel vesz fel a valószínűségi változó.

| 12. bemutató feladat
Ha egy kockával dobunk és ξ valószínűségi változó a dobott szám értéke, akkor a medián definíciójának bármely a ]3;4[ intervallumba eső szám eleget tesz, hiszen
P( ξ<3;4 )=P( ξ≤3;4 )= 1 2
13. bemutató feladat
Valamely ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:
F( x ) ={ 0...................x≤2 1 16 ( x-2 ) 2 ...2<x≤6 1...................6<x
Határozzuk meg a mediánt!
Megoldás:
1 16 ( x-2 ) 2 = 1 2 ebből x 1 =2+ 2 m e d( ξ ) =2+ 2

| 4.6.2. Módusz
Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a ξ valószínűségi változó móduszának nevezzük. Folytonos sűrűségi függvény esetén a ξ valószínűségi változó módusza a sűrűségfüggvény maximumhelye. A módusz jele: mod⁡( ξ ) .

| 14. bemutató feladat
Valamely ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:
F( x ) ={ 0...................x≤2 1 16 ( x-2 ) 2 ...2<x≤6 1...................6<x
Határozzuk meg a móduszt!
Megoldás:
A sűrűségfüggvény:
f(x)={ 0...................x≤2 1 8 (x−2)...2〈x≤6 1...................6〈x f x ' = 1 8
A sűrűségfüggvény, illetve a valószínűségi változó lényeges tulajdonsága nem változik, ha a szakadási pontban tetszés szerint választott f-értéket, például a példánkban legyen ez az érték x=6. Ekkor f(6)=4/8=1/2, azaz létezik módusz, mod⁡( ξ )=6 .

| Önellenőrző kérdések
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Ha a valószínűségi változó meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk.
| Ha a valószínűségi változó csak egymástól különálló meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk.
| Ha a valószínűségi változó egy adott intervallumban meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk.
2. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Az F( x ) függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük
| Az f( x ) függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük
| Az F ′ ( x ) függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| F( x )= f ′ ( x )
| F ′ ( x )=f( x )
| F( x )=f( x )
4. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Minden ξ diszkrét valószínűségi változónak van várható értéke és szórása.
| Nem minden ξ diszkrét valószínűségi változónak van várható értéke és szórása.
| A ξ diszkrét valószínűségi változónak van várható értéke és szórása.
5. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a ξ valószínűségi változó várható értékének nevezzük.
| Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a ξ valószínűségi változó mediánjának nevezzük.
| Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a ξ valószínűségi változó móduszának nevezzük.
6. Egy csomag 32 lapos magyar kártyából visszatevés nélkül kihúzunk 4 lapot. A ξ valószínűségi változó jelentse a kihúzott lapok közül a zöldek számát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy:
a) legalább 2, de legfeljebb 3 zöld lap lesz a kiválasztottak között;
| 0,7116
| 0,7996
| 0,7026
| 0,8096
b) legalább 2 olyan lapot húzunk, amelyik nem zöld?
| 0,9607
| 0,8607
| 0,9217
| 0,8617
7. Egy utcában a kábel TV-csatorna vételére az erősítőtől az utolsó házig 500 m kábelt fektettek le, amely valahol meghibásodott, ezért csak a hibahely és az erősítő közötti szakaszon biztosítja a vételt. Annak valószínűsége, hogy a hiba egy adott szakaszon következik be arányos kérdéses szakasz hosszával. A ξ valószínűségi változó jelentse a vételre alkalmas szakasz hosszát.
a) Adja meg ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét!
| F(x)={ 0..........0〈x x 500 .....0〈x.0〈500 1..........500≤x
| F(x)={ 0..........0≤x x 500 .....0〈x.0≤500 1..........500〈x
| F(x)={ 0..........0〈x x 500 .....0≤x.0〈500 1..........500≤x
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kábel meghibásodása az erősítőtől 150 m-nél távolabb, de legfeljebb 300 m-re van?
| 0,3
| 0,4
| 0,5
| 0,6
c) Határozza meg a sűrűségfüggvényt!
| f(x)={ 0......0〈x 1 500 ..0〈x〈500 0......500〈x
| f(x)={ 0......0〈x 1 500 ..0〈x≤500 0......500≤x
| f(x)={ 0......0≤x 1 500 ..0〈x≤500 0......500〈x
| f(x)={ 0......0≤x 1 500 ..0≤x≤500 0......500≤x
8. Egy folytonos eloszlású ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f(x)={ 0........x≤1 3 x 4 .....1〈x Számítsa ki a várható értéket és a szórást!
a) A várható érték:
| 3/4
| 3/2
| 2/3
| 4/3
b) A szórás:
| 0,766
| 0,899
| 0,866
| 0,756