KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: III. modul: Matematikai statisztika

8. lecke Statisztikai próbák

| Tananyag
8.1. Alapfogalmak
Az eddigi becslési eljárások során a sokasági paramétert ismeretlennek tekintettük, és a mintából származó adatok segítségével közelítőleg meghatároztuk az ismeretlen sokaság értékét. A hipotézisvizsgálatnál a sokaságról állítunk valamit, majd a rendelkezésünkre álló minta alapján ellenőrizzük az állítás helyességét.
Az egy vagy több sokaságra vonatkozó állítást, feltevést hipotézisnek nevezzünk. A hipotézis vonatkozhat az egy vagy több sokaság eloszlására, vagy az adott eloszlások egy vagy több paraméterére is. A különféle hipotézisek vizsgálatára szolgáló eljárásokat statisztikai próbáknak nevezzük. A próba egy olyan eljárás, amelynek során a mintából származó információk alapján döntünk a hipotézis elfogadásáról, vagy elutasításáról.
A hipotézisvizsgálat első lépése a vizsgálni kívánt hipotézis megfogalmazása. Pontosabban mindig két hipotézist fogalmazunk meg, egy úgynevezett nullhipotézist (H0), és egy ezzel szemben álló alternatív hipotézist (H1). A vizsgálat során a két hipotézist "versenyeztetjük", és azt fogadjuk el igaznak, amelyik a mintavétel eredménye alapján hihetőbbnek tűnik a másiknál. A két hipotézist úgy kell megfogalmazni, hogy:
akármelyiket is tekintjük majd a másiknál hihetőbbnek, megválaszolható legyen a bennünket érdeklő kérdés; a formális logikai szabályai szerint kizárják egymást, azaz egyszerre ne lehessenek igazak, de együtt minden lehetőséget kimerítsenek.
A hipotézis lehet egyszerű, ha fennállásának feltételezése a sokaság eloszlását egyértelműen meghatározottá teszi. Ellenkező esetben összetett hipotézisről beszélünk, azaz az egyszerű hipotézisek halmazáról.
A hipotézisek megfogalmazása után a feladatunk a mintaelemek egy olyan függvényének a keresése, amelynek valószínűség-eloszlása a nullhipotézis helyességének feltételezése, a sokaságra tett bizonyos kikötések és a mintavétel adott módja mellet egyértelműen meghatározható. Az e követelményeknek eleget tevő függvényt próbafüggvénynek nevezzük. A próbafüggvény hasonló szerepet tölt be a hipotézisvizsgálat során, mint a becslőfüggvény a becsléskor. A próbafüggvény konstruálása matematikai feladat.
A hipotézis helyességének ellenőrzése a próbafüggvény lehetséges értékeinek teljes tartományát osztópontok segítségével (Ca; Cf) két egymást át nem fedő tartományra bontjuk. Az egyik az elfogadási tartomány (E), a másik egy elutasítási vagy kritikus tartomány (K). Az egyes tartományok határait úgy válaszuk meg, hogy a próbafüggvény értéke a nullhipotézis elfogadása esetén előre megadott valószínűséggel ( p=1−α ) az elfogadási tartományba essen, és a kritikus tartományba esés csak α-valószínűséggel következzen be. Az ( 1−α ) a konfidencia szint, ennek komplementere a szignifikancia szin ( α). A próbafüggvény kritikus tartományba esésének valószínűségét szignifikancia szintnek nevezzük, és α-val jelöljük. Pl.: α=0,05 szignifikancia szint azt jelenti, hogy ha a mintavételt végtelen sokszor végrehajtjuk, akkor 100 esetből összesen 5-ször fordul elő az, hogy a próbafüggvényünk minta alapján kiszámított értéke a kritikus tartományba esik.
Ha ezek után a rendelkezésre álló minta adataiból kiszámítjuk a próbafüggvény úgynevezett aktuális értékeit, és ez beleesik az elfogadási tartományba, akkor a nullhipotézist elfogadjuk, ellenkező esetben a nullhipotézist elutasítjuk, és az alternatív hipotézist fogadjuk el.
Az elfogadási és a kritikus tartomány egymáshoz viszonyított elhelyezése háromféle lehet:
Egyoldali kritikus tartományhoz abban az esetben jutunk, ha az ellenhipotézisben a nullhipotézishez képest egy meghatározott irányú eltérést írunk fel.
Bal oldali kritikus tartomány
Ha a sokaság várható értékre H 1 :μ< m o alternatív hipotézist fogalmazzuk meg, akkor bal oldali, kritikus tartományról beszélünk. A nullhipotézist abban az esetben fogadjuk el, ha a próbafüggvény számított értéke nagyobb az elfogadási tartomány alsó határánál. Az elfogadási tartomány felső határa ebben az esetben pozitív végtelen. Ellenkező esetben a nullhipotézist vetjük el, és természetesen az alternatív hipotézist fogadjuk el.
Elfogadási- és kritikus (bal oldali) tartomány egyoldalú alternatív hipotézis esetén
Jobb oldali kritikus tartomány
Ha a sokaság várható értékre H 1 :μ> m o alternatív hipotézist fogalmazzuk meg akkor jobb oldali kritikus tartományról beszélünk.
A nullhipotézist abban az esetben fogadjuk el, ha a próbafüggvény számított értéke kisebb az elfogadási tartomány felső határánál. Az elfogadási tartomány alsó határa ebben az esetben negatív végtelen. Ellenkező esetben a nullhipotézist vetjük el, és természetesen az alternatív hipotézist fogadjuk el.
Elfogadási- és kritikus (jobb oldali) tartomány egyoldalú alternatív hipotézis esetén
Kétoldali kritikus tartomány
Kétoldali kritikus tartomány kijelölésére olyan esetben kerül sor, amikor a nullhipotézisben megfogalmazott állítástól való bármilyen irányú eltérés érdekel bennünket ( H 1 :μ≠ m o ).
Ha a próbafüggvény számított értéke az elfogadási tartományba kerül, akkor a nullhipotézist fogadjuk el, ha a próbafüggvény értéke a kritikus tartományba kerül, akkor a nullhipotézist elvetjük.
Elfogadási- és kritikus tartomány kétoldalú alternatív hipotézis esetén
A hipotézisvizsgálat során elkövetett hibák
A mintából a sokaságra vonatkozóan csak valószínűségi következtetés lehetséges, így a hipotézisvizsgálat során hozott döntésünk bizonyos kockázattal jár.
Előfordulhat, hogy a nullhipotézis helyes, és a próbafüggvény adott mintából számított értéke mégis a kritikus tartományba esik, Ilyenkor a nullhipotézist annak ellenére, hogy fennáll, elutasítjuk. Ezt a hibás döntést elsőfajú hibának nevezzük. Az ilyen hiba elkövetésének valószínűsége az elfogadási és a kritikus tartomány konstrukciója alapján α, amelyet szignifikanciaszintnek nevezünk.
Előfordul, hogy a nullhipotézis nem áll fenn (nem igaz), és a próbafüggvény mintából számított értéke mégis az elfogadási tartományba esik. Ez szintén hibás döntés, és ilyenkor másodfokú hibát követünk el. Ezen esemény bekövetkezésének valószínűségét β-val jelöljük.
A hipotézisvizsgálat során elkövetett hibák
Valóságos helyzet | H0-ra vonatkozó döntés
| Elfogadjuk | elutasítjuk
H0 igaz | Helyes döntés 1−α | Elsőfajú hiba α
H1 igaz | Másodajú hiba β | Helyes döntés 1−β
A hipotézisellenőrzés során elkövethető hibák
Az ( 1−α ) valószínűséget a próba megbízhatósági szintjének, az 1−β -t pedig a próba erejének nevezzük.
A minta elemszámának növelésével - adott szignifikancia szint és alternatív hipotézis esetén - csökkenthető a másodfajú hiba elkövetésének valószínűsége, illetve minél távolabb van μ paraméter valóságos értéke a nullhipotézisben szereplő feltételezett értéktől, annál kisebb lesz β-értéke.
A hipotézisvizsgálat menet:
1. | Megfogalmazni a nullhipotézist és az alternatív hipotézist.
2. | Próbafüggvény keresése a nullhipotézisben megfogalmazott állításnak megfelelően. A próbafüggvény a mintaelemeknek egy olyan függvénye, amelynek eloszlása a nullhipotézis igazságát feltételezve pontosan ismert, a mintavétel előtt azonban ennek értéke is valószínűségi változó. A próbafüggvénynek több szempont szerint kell megfelelőnek lennie, egyrészt a nullhipotézisben megfogalmazott állításnak, azaz nem minden nullhipotézis ellenőrizhető azonos próbafüggvénnyel; másrészt a minta eloszlás-típusának, valamint a mintavétel módjának is.
3. | Kiválasztani a szignifikancia szintet: az az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét választjuk meg.
4. | Az elfogadási és kritikus tartomány megállapítása a szignifikancia szintnek és a szabadságfoknak (ahol van) megfelelően.
5. | Mintavétel, és a próbafüggvény értékének kiszámítása.
6. | Döntés a nullhipotézis helyességének elfogadásáról, vagy a nullhipotézis elutasítása.
8.2. Egymintás statisztikai próbák
Az egymintás statisztikai próbák a sokaság valamely paraméterének tesztelésére szolgálnak.
8.2.1. Várható értékre irányuló próbák
Azt teszteljük, hogy egy sokaság ismeretlen várható értéke ( μ), megegyezik-e az általunk feltételezett várható értékkel ( μ 0 ). A nullhipotézis a következő:
H 0 :μ= μ 0
Konkrét minta esetén:
H 0 : x ¯ = x ¯ 0
Az alternatív hipotézisünk háromféle lehet:
H 1 :μ< μ 0
H 1 :μ≠ μ 0
H 1 :μ> μ 0
Konkrét minta esetén:
H 0 : x ¯ 〈 x ¯ 0 H 0 : x ¯ ≠ x ¯ 0 H 0 : x ¯ 〉 x ¯ 0
8.2.1.1. Egymintás z-próba
A sokaság normális eloszlású és a sokasági szórás ( σ) ismert, akkor hasonlóan a becsléshez, a z-próbafüggvényt alkalmazzunk.
z 0 = μ ∧ − μ 0 σ n ,
illetve ismert minta esetén:
z 0 = x − − x − 0 σ n
Ez a próbafüggvény standard normális eloszlású valószínűségi változó.
A z-próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H 1 :μ< μ 0 | [ z α ;∞ [
H 1 :μ≠ μ 0 | [ z α/2 ; z 1−α/2 ]
H 1 :μ> μ 0 | ] − ∞ ˙ ; z 1−α ]
A táblázatban csak a értékeit találjuk meg, azonban a z α értékeit az alábbi összefüggés alapján meghatározhatjuk:

| 1. bemutató feladat
Egy automata gépsor lisztet csomagol, a szabvány szerint 100 dkg-os tömeggel, és a megengedett szórás 3 dkg. Ellenőrzés céljából 30 db-os mintát veszünk. A lemért lisztes zacskók átlagos tömege 98 dkg. Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a gép megfelelően csomagol-e.
H 0 :μ=100 dkg . H 1 :μ≠100 dkg
z 0 = 98−100 3 30 =−3,65 z0,975 = 1,96; z0,025 = -1,96
Az elfogadási tartomány: (-1,96; 1,96) Az elfogadási tartomány nem tartalmazza a próbafüggvény aktuális értékét (-3,65), ezért a nullhipotézist elutasítjuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten a töltési tömeg nem felel meg a szabványnak.

| 8.2.1.2. Egymintás t-próba
A normális eloszlású sokaság vizsgálatánál végezzük, ha nem ismerjük az eloszlás szórását. Ebben az esetben a
t 0 = μ ∧ − μ 0 s n
próbafüggvényt használjuk, illetve konkrét minta esetén:
t 0 = x − − x − 0 s n ,
a nullhipotézis ellenőrzésére.
Ha a nullhipotézis igaz, és a sokaság eloszlása valóban normális, akkor a t-próbafüggvény szf=n-1 szabadságfokú Student-féle t-eloszlást követ. A t-próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H1:(<(0 | [ t α s z f ;∞ [
H1:(((0 | [ t α/2 s z f ; t 1-α/2 s z f ]
H1:(>(0 | ] − ∞ ˙ ; t 1−α s z f ]

| 2. bemutató feladat
Az előző sokaság eloszlása normális, az átlag 98 dkg, a szórást a mintából (n=30) becsültük meg, ami 5,5 dkg Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a gép megfelelően csomagol-e.
H 0 :μ=100 dkg . H 1 :μ≠100 dkg
t 0 = 98−100 5,5 30 =−1,99 t290,975=2,05; t290,025= -2,05
Az elfogadási tartomány: (-2,05; 2,05)
Az elfogadási tartomány tartalmazza a próbafüggvény aktuális értékét (-1,99), ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten a töltési tömeg megfelel a szabványnak.

| 8.2.2. Sokasági szórásra vonatkozó próba
A sokasági szórás becslésére a korrigált tapasztalati szórást használjuk. A konfidencia intervallum meghatározását a χ 2 -eloszlásra (khí) alapozzuk.
χ 0 2 = (n-1)* s 2 σ 0 2
próbafüggvényt használjuk, amely szf=n-1 szabadságfokú χ 2 -eloszlást követ.
A nullhipotézisünk:
H 0 :σ= σ 0
A χ 2 -próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H 1 :σ< σ 0 | [ χ α( s z f ) 2 ;∞ [
H 1 :σ≠ σ 0 | [ χ α/2( s z f ) 2 ; χ 1-α/2( s z f ) 2 ]
H 1 :σ> σ 0 | ] 0; χ 1−α(s z f) 2 ]

| 3. bemutató feladat
Az előző példában feltételezzük, hogy a gép 3 dkg-os szórással tölt. A 30 elemű mintából számított szórás 5,5 dkg volt. Ellenőrizzük, hogy helyes volt-e a feltevés, hogy a gép maximum 3 dkg szórással tölt, 5%-os szifnifikancia szinten.
H 0 :σ=3 dkg . H 0 :σ>3 dkg
χ 0 2 = (30-1)* 5,5 2 3 2 =97,5
A χ 0,95(29) 2 =42,6 , tehát az elfogadási tartomány (0; 42,6), a próbafüggvény értéke nem esik bele ebbe a tartományba, ezért a nullhipotézist elutasítjuk, azaz a töltés során a szórás meghaladja az előírást.

| 8.2.3. Függetlenségvizsgálat
A függetlenségvizsgálat azon nullhipotézis ellenőrzésére szolgál, hogy két ismérv független egymástól. Az alternatív hipotézisben pedig azt fogalmazzuk meg, hogy nem függetlenek.
A két ismérv akkor független egymástól, ha a peremmegoszlási viszonyszámok (relatív gyakoriságok) szorzata egyenlő s megfelelő együttes viszonyszámokkal:
f 1• N * f •1 N = f 11 N
Ha nem ismerjük a véges sokaságot, akkor a mintából származó adatokkal kell eldönteni a függetlenséget. Ilyenkor is egy kontingenciatáblából indulunk ki, de a táblázat ekkor a mintában észlelt gyakoriságokat tartalmazza.
H 0 : P i j ≠ P i• ∗ P •j (i=1,2,....,s; j= 1,2,....t)
H 1 : P i j ≠ P i• ∗ P •j
Pij: az első ismérv i-edik és a második ismérv j-edik változata együttes előfordulásának valószínűsége a sokaságban.
A valószínűségeket a mintából becsüljük: p i• = n i• n p •j = n •j n
χ 2 = ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( n i j - n i j * ) 2 n i j * =n*( ∑ i=1 s ∑ j=1 t n i j 2 n i• * n •j -1 ) n i j * =n* p i• * p •j = n i• * n •j n
Vagy a Csuprov-féle együttható szerint, ahol
f i = n i n χ 2 = ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( f i j − f i j * ) 2 f i j * f i j * =n* P i• * P •j
A szabadságfok: szf=(s-1)*(t-1)
Ez a próba jobb oldali módon hajtható végre. A minta akkor tekinthető elég nagynak, ha még a legkisebb n i j * is legalább 5, de még jobb, ha legalább 10.

| 4. bemutató feladat
Egy szociológiai vizsgálat során azt kívánjuk ellenőrizni, hogy az egyetemet végzett férfiak és nők előrejutási lehetőségei azonosnak tekinthetők-e. Ehhez a 15 éve végzett hallgatók közül 200 főt kiválasztva véletlenszerűen, az alábbi mintát kaptuk.
Megn. | Férfi | nő | ∑ n i•
Beosztott | 20 | 40 | 60
középvezető | 60 | 40 | 100
Felső vezető | 30 | 10 | 40
∑ n •j | 110 | 90 | 200
A vizsgálatot 5%-os szignifikancia szinten végezzük el. H 0 : P i j = P i• ∗ P •j H 1 : P i j ≠ P i• ∗ P •j
Megnevezés | n i j | n i j * = n i• * n •j n | ( n i j − n i j * ) 2 n i j *
Férfi | Beosztott | 20 | 60*110/200=33 | 5,121
középvezető | 60 | 55 | 0,455
Felső vezető | 30 | 22 | 2,909
Nő | Beosztott | 40 | 27 | 6,259
középvezető | 40 | 45 | 0,556
Felső vezető | 10 | 18 | 3,556
Σ |  | 200 | 200 | 18,856
χ 0 2 =18,856 szf=(3-1)*(2-1)=2 χ 0,95(2) 2 =5,99
Mivel a kritikus érték kisebb, mint a számított érték, a H0-t elutasítjuk, tehát az adatok alapján 5%-os szignifikancia szinten elmondható, hogy a nemhez való tartozás és a beosztás függenek egymástól, azaz elutasítjuk a függetlenséget.

| 8.2.4. Illeszkedésvizsgálat
Egy valószínűségi változó eloszlására vonatkozó állítás vagy feltételezés ellenőrzését illeszkedésvizsgálatnak nevezzük. Attól függően, hogy a hipotézisünket mennyire konkretizáljuk, kétféle illeszkedésvizsgálatot különböztetünk meg:
Ha a feltételezett eloszlás egyértelműen meghatározott - a típusát és a paramétereit előre rögzítjük -, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról beszélünk.
Ha a feltételezett eloszlásnak csak a típusát adjuk meg - a paramétereit pedig a mintából becsüljük -, akkor becsléses illeszkedésvizsgálatot végzünk.
A sokaságot egy ismérv (többnyire mennyiségi, néha minőségi) alapján k-számú részre bontjuk, azaz az adott ismérv alapján osztályozzuk a sokaság egységeit. Ugyanezt azt osztályozást a mintán belül is elvégezzük.
Osztály | A kategória előfordulásának
valószínűsége | gyakorisága | relatív gyakorisága
a mintában
c1 | P1 | f1 | g1
c2 | P2 | f2 | g2
. | . | . | .
. | . | . | .
ck | Pk | fk | gk
Összesen | 1,00 | n | 1,00
Az általunk feltételezett sokaság eloszlása minden ismérvváltozathoz egy maghatározott Pi valószínűséget rendel. A nullhipotézis tehát:
H 0 :P( c i )= P i i=1,2,...k, az alternatív hipotézisünk pedig: H 1 :P( c i )≠ P i
A H 0 helyességét a χ 2 -próbafüggvénnyel vizsgálhatjuk meg:
χ 2 = ∑ I=1 K ( f i −n* P i ) 2 n* P i = ∑ ( f i − f i * ) 2 f i * =n*( ∑ g i 2 P i −1) f i * =n* P i
Ez a statisztikai vizsgálat a nullhipotézis helyessége esetén jó közelítéssel szf=(k-b-1) szabadságfokú χ 2 -eloszlású, ahol a b a Pi valószínűségek meghatározásához szükséges olyan paraméterek száma, amelyeket a mintából becsülünk. Tiszta illeszkedésvizsgálat esetén a b=0.
Mivel χ 2 -próbafüggvény a nullhipotézistől való jelentős eltérést nagy pozitív értékkel jelzi, ezért az illeszkedésvizsgálatot a jobb oldali kritikus tartományra kell végrehajtani, azaz a felső kritikus értéket kell keresni , tehát az elfogadási tartomány pedig:
[ 0; χ 1−α(s z f) 2 ] .

| 5. bemutató feladat
Egy gyorsbüfé hálózatban a vevőket 45 másodperc alatt kell kiszolgálni. A kiszolgálási idő megengedett szórása 7 másodperc. 400 véletlenül kiválasztott vendég kiszolgálási idő szerinti megoszlása a következő:
kiszolgálási idő (másodperc) | vendégek száma (fő)
0-35 | 20
35-40 | 80
40-45 | 100
45-50 | 100
50-55 | 60
55- | 40
Összesen | 400
Ellenőrizzük azt a feltevést, hogy a minta az előírt paraméterű (átlag=45, szórás=7 másodperc) normális eloszlásból származott, P=5%-os szignifikancia szinten.
kiszolgálási idő (másodperc) | vendégek száma (fő) | x i f | z i f = ( x i f −μ ) σ | Φ( − Z ( i f ) )= P ′ i | P i | f i * =n∗ P i | ( f i − f i * ) 2 f i *
0-35 | 20 | 35 | -1,43 | 0,0764 | 0,0764 | 30,56 | 3,65
35-40 | 80 | 40 | -0,71 | 0,2389 | 0,1625 | 65 | 3,46
40-45 | 100 | 45 | 0 | 0,5 | 0,2611 | 104,44 | 0,19
45-50 | 100 | 50 | 0,71 | 0,7611 | 0,2611 | 104,44 | 0,19
50-55 | 60 | 55 | 1,43 | 0,9236 | 0,1625 | 65 | 0,38
55- | 40 | ∞ | ∞ | 1 | 1,00 | 30,56 | 2,42
Összesen | 400 | - | - | - | - | 400 | 10,79
A táblázatban vastagított számokat az alábbiak szerint kapjuk:
z i f = ( x i f −μ ) σ =35-45/7=-1,43 Φ( − Z ( i f ) )=1−P( z i 1 ) táblázatból P i = P ′ i k − P ′ i k−1 =0,2389-0,0764=0,1625 f i * =n∗ P i =400*0,0764=30,56 ( f i − f i * ) 2 f i * =(20-30,56)2/30,56=3,65 Ugyan így kell a többi értéket is kiszámítani
χ 0 2 =10,79
Szf=6-1=5, χ 1-0,05(5) 2 =11,1, az elfogadási tartomány (0;11,1).
A számított érték az elfogadási tartományba esik, így elfogadjuk a nullhipotézist. A kiszolgálási időt 5%-os szignifikancia szinten 45 másodperc várható értékű és 7 másodperc szórású normális eloszlású valószínűségi változónak lehet tekinteni.
6. bemutató feladat
Egy széleskörű vizsgálat során, Magyarországon a 15 éves és idősebb népesség 15%-a sovány, 25%-a normál súlyú, és 60%-a túlsúlyos volt 1996-ban. 2005-ben 500 véletlenszerűen kiválasztott minta alapján 72 fő sovány, 176 fő normál súlyú és 252 fő pedig túlsúlyos volt. 1%-os szignifikancia szinten állíthatjuk-e, hogy a két eloszlás egyforma. A kérdés az illeszkedésvizsgálattal válaszolható meg.
Osztály | A kategória előfordulásának
Valószínűsége P i | gyakorisága | relatív gyakorisága
a mintában
Sovány | 0,15 | 72 | 72/500=0,1444
Normál | 0,25 | 176 | 176/500=0,352
túlsúlyos | 0,60 | 252 | 252/500=0,504
összesen | 1,00 | 500 | 1,00
χ 2 =n*( ∑ g i 2 P i −1)=500*( 0,1444 2 0,15 + 0,352 2 0,25 + 0,504 2 0,60 −1)=28,608
szf=3-1=2 χ 0,99(2) 2 =9,21 az elfogadási tartomány (0; 9,21).
A két eloszlás nem egyezik, mivel a próbafüggvény számított értéke az elfogadási tartományba esik

| 8.3. Két- és többmintás statisztikai próbák
Gyakran előfordul, hogy két sokaságot akarunk vizsgálni, és a hipotézis két paraméter értékének egymáshoz való viszonyára vonatkozik. Ilyenkor kétmintás próbát hajtunk végre, azaz a sokaságokból 1-1 független, véletlen mintát veszünk a hipotézis ellenőrzése céljából. Az egymással összehasonlításra kerülő sokaságok időben, térben vagy bármilyen más tekintetben különbözhetnek egymástól.
8.3.1. Várható értékek különbözőségére irányuló próbák
Két sokaságból külön-külön és egymástól függetlenül vett minta alapján ellenőrizni kívánjuk a H 0 : μ 1 = μ 2 vagy konkrét minta esetén a H 0 : x ¯ 1 = x ¯ 2 hipotézis helyességét.
8.3.1.1. Kétmintás z-próba
Ha a két sokaság normális eloszlású, és ismert mindkét sokaság szórása, akkor a z-próbafüggvényt alkalmazzuk:
z= x ¯ 1 − x − 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2
A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás z-próba elfogadási tartományával:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H 1 : μ 1 < μ 2 ( x 1 < x 2 ) | [ z α ;∞ [
H 1 : μ 1 ≠ μ 2 ( x 1 ≠ x 2 ) | [ z α/2 ; z 1−α/2 ]
H 1 : μ 1 > μ 2 ( x 1 > x 2 ) | ] − ∞ ˙ ; z 1−α ]

| 7. bemutató feladat
A levegőszennyeződés vizsgálatakor az ülepedő por (g/m2/hó) mennyiségét mérték meg téli és nyári időszakban. A mérés eredménye:
Télen: n1=60; x ¯ 1 =5,1 ; σ 1 =3 Nyáron: n2=60; x ¯ 2 =5,9 ; σ 2 =3,9
Megoldás:
H 0 : x ¯ 1 = x ¯ 2
H 1 : x ¯ 1 ≠ x ¯ 2
z= x ¯ 1 − x − 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 5,1−5,9 3 2 60 + 3,9 2 60 =−1,26
z0,975=1,96 Az elfogadási tartomány: (-1,96¸1,96) A számított érték az elfogadási tartományba esik, így a levegőszennyeződés a mért adatok alapján, azonos télen és nyáron.

| 8.3.1.2. Kétmintás t-próba
Ha a két normális eloszlású sokaság szórását nem ismerjük, és feltételezzük, hogy szórásuk lényegesen nem különbözik, ilyenkor t-próbát alkalmazunk:
t 0 = x 1 − x − 2 − s d 1 n 1 + 1 n 2
s d = ( n 1 −1)* s 1 2 +( n 2 −1)* s 2 2 n 1 + n 2 −2 (közös szórás)
A szabadságfok szf=n1+n2-2 A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás t-próba elfogadási tartományával.

| 8. bemutató feladat
Egy üzemben a szerelési műveleteket két eltérő módon tanították be. A két csoportból mintát vettek, és feljegyezték a dolgozók teljesítményét. A kérdés, hogy 5%-os valószínűségi szinten van-e különbség a két szerelési mód között?
n1=16; x ¯ 1 =128 ; s1=18 n2=11; x ¯ 2 =112 ; s2=19
Megoldás:
H 0 : x 1 ≥ x 2 H 1 : x 1 < x 2
s d = (16−1)* 18 2 +(11−1)* 19 2 16+11−2 =18,41
t 0 = 128−112 18,41 1 16 + 1 11 =2,22
Szf=25 t0,025(25)= -1,71, az elfogadási tartomány:
[ t α s z f ;∞ [ , azaz [ −1,71;∞ [
Mivel a számított t-érték beleesik az elfogadási tartományba, ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz az első betanítási módszer nem jobb, mint a második.
Ha a két minta szórása nagymértékben különbözik, akkor a kétmintás t-próba nem alkalmazható a két várható érték egyezésének eldöntésére. Ilyen esetekben az úgynevezett Welch-eljárást alkalmazzuk:
t f = | x 1 − x 2 | s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2
9. bemutató feladat
Egy üzemben a szerelési műveleteket két eltérő módon tanították be. A két csoportból mintát vettek, és feljegyezték a dolgozók teljesítményét. A kérdés, hogy 5%-os valószínűségi szinten van-e különbség a két szerelési mód között?
n1=16; ( x ¯ 1 =128 ; s1=18 n2=11; ( x ¯ 2 =112 ; s2=29
Megoldás:
H 0 : x 1 ≥ x 2 H 1 : x 1 < x 2
t f = | x 1 − x 2 | s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = | 128−112 | 18 2 60 + 29 2 60 =1,63
Szf=25 t0,025(25)= -1,71, az elfogadási tartomány:
[ t α s z f ;∞ [ , azaz [ −1,71;∞ [
Mivel a számított t-érték beleesik az elfogadási tartományba, ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz az első betanítási módszer nem jobb, mint a második.

| 8.3.2. Két sokasági szórás egyezőségére irányuló próba
Ha a két sokaság normális eloszlású, a szórások egyezőségének vizsgálatára az F-próbafüggvény alkalmazható, ezért F-próbának nevezzük.
H 0 : σ 1 = σ 2 , a szabadságfokok az alábbiak: szf1=n1-1; szf2=n2-1.
F= σ 1 2 σ 2 2 vagy F= s 1 2 s 2 2
Az F-eloszlás nem szimmetrikus, elfogadási tartománya a következő:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H 1 : σ 1 < σ 2 | [ F s z f 2 (α) s z f 1 ;∞ [
H 1 : σ 1 ≠ σ 2 | [ F s z f 2 (α/2) s z f 1 ; F s z f 2 (1-α/2) s z f 1 ]
H 1 : σ 1 > σ 2 | ] 0; F s z f 2 (1-α) s z f 1 ]
F S z f 1 (α) S z f 2 = 1 F S z f 1 (1−α) S z f 2

| 10. bemutató feladat
Az előző példa folytatása. Ellenőrizzük 10%-os szignifikancia szinten azt a feltevést, hogy a munkások teljesítményének szórása megegyezik.
H 0 : σ 1 = σ 2 , H 1 : σ 1 ≠ σ 2
F= 18 2 19 2 =0,8976
szf1=15; szf2=10
[ F 10( 0,05 ) 15 =0,351; F 10( 0,95 ) 15 =2,85 ]
A számított érték belesik az elfogadási tartományba, így a nullhípotézist elfogadjuk, azaz a teljesítmények szórása között nincs szignifikáns különbség.

| 8.3.3. Két eloszlás egyezőségének a vizsgálata
Két eloszlás egyezőségének a vizsgálatát homogenitás vizsgálatnak is nevezzük.
Feltételezzük, hogy valamely változó két sokaságon belüli eloszlása azonos. Erre a χ 2 -eloszlású próbafüggvényt alkalmazzuk. A két minta elemszáma n1 és n2, akkor χ 2 értéke:
χ 2 = n 1 * n 2 * ∑ 1 n 1 i + n 2 i * ( n 1 i n 1 − n 2 i n 2 ) 2 n 1 i n 1 = g i ...........r e l a t í v g y a k o r i s á g

| 11. bemutató feladat
A virágárakat vizsgálva a pesti és budai virágüzletekben arra keresték a választ, hogy a virágárak eloszlása azonos-e a két helyen 99%-os konfidenciaszinten.
Ár | Buda | Pest | számítások
árusok száma (db) | n1i+n2i | g1i | g2i | 1 n 1 i + n 2 i * ( n 1 i n 1 − n 2 i n 2 ) 2
0-55 | 3 | 5 | 8 | 0,0400 | 0,0595 | 0,000048
56-65 | 22 | 6 | 28 | 0,2933 | 0,0714 | 0,001759
66-75 | 18 | 18 | 36 | 0,2400 | 0,2143 | 0,000018
76-85 | 18 | 21 | 39 | 0,2400 | 0,2500 | 0,000003
86-95 | 6 | 18 | 24 | 0,0800 | 0,2143 | 0,000752
96-105 | 6 | 10 | 16 | 0,0800 | 0,1190 | 0,000095
105- | 2 | 6 | 8 | 0,0267 | 0,0714 | 0,000250
összesen. | 75 | 84 | 159 | 1 | 1 | 0,002925
χ 2 = n 1 * n 2 * ∑ 1 n 1 i + n 2 i * ( n 1 i n 1 − n 2 i n 2 ) 2 =75*84*0,002925=18,4275
szf=7-1=6; α 2 =0,005; 1−α 2 =0,995
ca=0,68; cf=18,5
Az elfogadási tartomány: (0,68; 18,5)
A számított érték beleesik az elfogadási tartományba, azaz a virágárak eloszlása azonos a két helyen.

| 8.3.4. Varianciaanalízis
Varianciaanalízissel kettőnél több sokaság várható értékének egyezősége tesztelhető. A varianciaanalízis annak a nullhipotézisnek az ellenőrzésére szolgál, hogy kettőnél több, azonos szórású normális eloszlású valószínűségi változónak azonos-e a várható értéke.
H 0 : μ 1 = μ 2 =…= μ n =μ
A varianciaanalízis abból indul ki, hogy minden megfigyelés 3 komponens összege:
a várható érték: μ, egy a j-edik sokaságra jellemző β j konstans, és egy véletlen összetevő (hibaváltozó): ε i j .
A H 0 helyességét próbafüggvénnyel vizsgáljuk, és ez az F-próbafüggvény.
F= s k 2 s b 2 = S S K/(M−1) S S B/(n−M) = M S k M S H = M Q k M Q H
SSK: a csoportok közötti eltérés négyzetösszege (külső szórás négyzete)
S S K= ∑ i=1 m n i ( x ¯ i − x ¯ ) 2
M: a csoportok száma SSB: a csoportokon belüli eltérés négyzetösszege. (belső szórás négyzete)
S S B= ∑ i=1 m ∑ j=1 n i ( x i j − x ¯ i ) 2
Ezen kívül ki kell számolni az összes adat szórásnégyzetét is.
S S T= ∑ i=1 m ∑ j=1 n i ( x i j − x ¯ )
Vagy:
SST=SSK+SSB (teljes szórás négyzete)
A varianciatáblázat a következő lesz:
A szóródás oka | SS (SQ) | DF(FG) | MS(MQ) | F
Külső (kezelés) | SSK | M-1 | s k 2 | s k 2 s b 2
Belső (hiba) | SSB | n-M | s b 2 |
Teljes | SST | n-1 |  |
Az F-próba jobboldali próba. Ha a tapasztalati F-érték (számított) nagyobb az elméleti F-értéknél (táblázatbeli), akkor a várható értékek egyezőségére vonatkozó nullhipotézist az adott szignifikanciaszint mellet elvetjük, és az alternatív hipotézist fogadjuk el.

| 12. bemutató feladat
Egy kis élelmiszerbolt tulajdonosa feltételezte, hogy a hétfői és szombati napokon nem ugyanannyi a sajt forgalma, mint a hét többi napján. Azért, hogy a sajtrendelésit jobban le tudja adni, feljegyezte a forgalmat az adott napokon:
Napok | Megfigyelt napok száma | Eladott mennyiség (kg) | Átlag | Variancia (szórásnégyzet)
Hétfő | 6 | 30,40,54,34,44,50 | 42 | 84,8
egyéb | 10 | 49,43,30,59,35,46, 42,35,36,43 | 41,8 | 70,4
szombat | 6 | 52,58,57,70,54,54 | 57,50 | 42,3
Össz. | 22 |  | 46,136 | 111,17
Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a sajtforgalom azonos a megfigyelt napokon.
SST=21*111,17=2334,57 SSB=5*84,8+9*70,4+5*42,3=1269,1 SSK=2334,57-1269,1=1065,47
s k 2 =SSK/(M-1)= 1065,47/2=532,735 s b 2 =SSB/(n-M)= 1269,1/19=66,795 F=532,735/66,795=7,976
A sajtforgalom variancianalízis táblázata
A szóródás oka | SS (SQ) | DF(FG) | MS(MQ) | F
Milyen nap | 1065,47 | 2 | 532,735 | 7,976
Hiba | 1269,1 | 19 | 66,795 |
Teljes | 2334,57 | 21 |  |
Mivel F0,95(2;19)=3,52, azaz a táblázatbeli érték kisebb, mint a számított F-érték, így a várható értékek egyezését állító nullhipotézis elvethető. A hét vizsgált napjain 5%-os szignifikancia szinten nem egyforma a sajtforgalom átlagos nagysága.

| Önellenőrző feladatok
1. Egy édesipari üzemben a cukorkát tartalmazó zacskók szabvány szerinti töltési tömege 50 dkg. A töltési tömeg normális eloszlású. Egy vizsgálat során a véletlenül kiválasztott 25 zacskó töltési tömegének átlaga 49,6 dkg volt 1,71 dkg szórással.
Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia szinten, hogy a zacskók töltési tömege megfelel-e a szabvány szerinti tömegnek!
a) A próbafüggvény számított értéke:
| +1,10
| -1,10
| +1,17
| -1,17
b) Az elfogadási tartomány alsó határa:
| -1,96
| -2,06
| -2,16
| -2,33
c) Az intervallum felső határa:
| 1,96
| 2,00
| 2,06
| 2,16
2. Egy adott technológiával gyártott háztartási gép szabvány szerinti élettartama 12 ezer üzemóra, 3 ezer üzemóra szórással. Módosítottak a gyártási technológián és az új technológiával készült háztartási gépek közül kiválasztottak 100-at, a minta alapján az átlagos élettartam 15 ezer üzemóra.
Ellenőrizze 2%-os szignifikancia szinten, hogy az új technológiával gyártott háztartási gépek átlagos élettartama meghaladja-e a szabvány szerintit!
a) A próbafüggvény számított értéke:
| -9
| 9
| -10
| 10
b) Melyik hipotézist fogadjuk el?
| H1
| H0
3. Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia szinten az előző feladat adati alapján, hogy a gépek élettartamának szórása eltér-e szabványtól, ha a minta átlagának szórása3,2 ezer üzemóra!
a) A próbafüggvény számított értéke
| 74,2
| 112,6
| 129,6
| 142,3
b) Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
4. Egy diabetikus szeretné meghatározni, hogy a napszak befolyásolja-e a kávéfogyasztást. A kávéház vendéginek mintája alapján feljegyezték a fogyasztást:
| Kora reggel | Késő reggel | Kora délután | Késő délután
Kávérendelés | 3 | 5 | 8 | 11
Egyéb rendelés | 52 | 48 | 51 | 47
5%-os szignifikancia szinten a diabetikus elfogadja, vagy elutasítja azt a nullhipotézist, hogy a kávérendelések száma azonos a különböző napszakokban?
a) A próbafüggvény számított értéke
| 3,37
| 4,57
| 5,37
| 6,57
b) Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
c) Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| A kávérendelések száma azonos a különböző napszakokban, azaz a kávéfogyasztás független a napszakoktól.
| A kávérendelések száma nem azonos a különböző napszakokban, azaz a napszak meghatározza a kávéfogyasztást.
6. Egy automata töltőgép az egyik fajta szárazsüteményt dobozokba tölti. A dobozok töltési tömegének szórása 8 gramm. A töltési tömeg normális eloszlású. Két egymást követő napon 40-40 dobozt vizsgáltak meg. A mintában az átlagos töltési tömegek:
1. nap: 595,5 gramm. 2. nap: 603,7 gramm
a) A próbafüggvény számított értéke
| 4,58
| -4,58
| 1,96
| -1,96
b) Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H1
| H0
7. A személysérüléssel járó közúti közlekedési balesetekre vonatkoznak az alábbi, mintavételből származó adatok:
A baleset ideje a nap órái szerint | Balesetek száma
Budapest | Az ország többi részén
0-8 | 54 | 138
8-12 | 80 | 199
12-15 | 39 | 187
15-18 | 63 | 223
18-24 | 45 | 196
Összesen | 281 | 943
Azonos-e a balesetek számának eloszlása a két helyen 5%-os szignifikancia szinten?
a) A próbafüggvény számított értéke
| 0,48
| 11,10
| 14,89
| 16,54
b) Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
8. Egy cég négy különböző típusú autógumi kopásállóságát vizsgáltatta meg. Az 5-5 elemű mintákban a futófelület kopása alapján meghatározott élettartamok ezer km-ben kifejezve az alábbiak voltak:
Típus | Kopásállóság | Átlag | Variancia
A | 53 | 61 | 58 | 56 | 57 | 57 | 8,5
B | 51 | 60 | 64 | 67 | 58 | 60 | 37,5
C | 46 | 50 | 57 | 50 | 47 | 50 | 18,5
D | 50 | 59 | 53 | 56 | 47 | 53 | 22,5
A minta főátlaga: 55, varianciája pedig 33,58.
Varianciaanalízissel ellenőrizze, hogy az egyes gumiabroncsok kopásállósága 5%-os szignifikancia szinten azonosnak tekinthető-e!
a) A próbafüggvény számított értéke
| -3,24
| 3,24
| -4,44
| 4,44
b) A táblázatbeli F-érték:
| 2,54
| 3,68
| 3,24
| 2,15
c) Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Az abroncsok kopásállósága 5%-os szignifikancia szinten nem tekinthető azonosnak.
| Az abroncsok kopásállósága között 5%-os szignifikancia szinten nincs különbség.