KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: I. modul: Valószínűség számítás

1. lecke: A valószínűség fogalma

| Követelmény
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
Szöveges megfogalmazás alapján el tudja dönteni, hogy mit jelent a kísérlet, a relatív gyakoriság, a valószínűség. A felsorolásból ki tudja választani, a teljes, a teljes valószínűségre, a lehetetlen eseményre, a valószínűségre vonatkozó téteket. A megadott adatokból ki tudja számolni adott esemény valószínűségét.
Tananyag
A valószínűségelmélet, a valószínűség számítás egy olyan tudomány, amely véletlen jelenségekkel foglalkozik. Feladata e véletlen jelenségek összefüggéseinek, törvényszerűségeinek a feltárása, a közöttük fellelhető kapcsolatok elemzése.
A véletlen jelenségekkel foglalkozó kísérleteket, megfigyeléseket véletlen kísérleteknek, eredményeiket pedig véletlen eseményeknek nevezzük. A kísérletek nemcsak mesterségesen állíthatóak elő, hanem kísérleteknek nevezzük az olyan jelenségek megfigyelését is, amely előidézésében nem vettünk részt.
A valószínűségelmélet tárgya a véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeinek vizsgálata. A valószínűség fogalmának meghatározásához a relatív gyakoriság fogalmát kell először meghatározni.
Valamely kísérlettel kapcsolatos esemény bekövetkezéseinek számát a kísérlet n-szeri megismétlése során megszámlálhatjuk. Jelöljük a vizsgált eseményt A-val, és tegyük fel, hogy a kísérletsorozatban az A-esemény kA-szor következik be. A kA-számot az A-esemény gyakoriságának nevezzük. Képezzük a kA/n-hányadost, amelyet az A-esemény relatív gyakoriságának nevezünk.
Jelölése:
g(A)= k A n
A relatív gyakoriságot százalékban is ki szoktuk fejezni. Egy esemény relatív gyakorisága megadja, hogy az összes megfigyelés során hány százalékban következett be egy adott esemény.

| 1. bemutató feladat
Dobjunk fel egy pénzérmét 20-szor egymás után. Legyen az A-esemény az, hogy írást dobunk. Jegyezzük el az A-esemény bekövetkezésének gyakoriságát, majd számítsuk ki a relatív gyakoriságot.
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
kA | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5
g(A) | 1 | 0,50 | 0,67 | 0,50 | 0,60 | 0,50 | 0,43 | 0,50 | 0,56
n | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20
kA | 6 | 7 | 7 | 8 | 9 | 9 | 9 | 10 | 10 | 10 | 11
g(A) | 0,60 | 0,64 | 0,58 | 0,62 | 0,64 | 0,60 | 0,56 | 0,59 | 0,56 | 0,53 | 0,55
n: a dobások száma, kA: az A-esemény bekövetkezésének gyakorisága g(A): az A-esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága (kA/n). Megfigyelhető, hogy a relatív gyakoriság statikusan ingadozik egy számérték körül.
Végezzünk el egy másik kísérletet. A dobások száma most 80; 160; 240; 320; 400; 480 és 560 legyen.
n | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 | 480 | 560
kA | 40 | 86 | 122 | 163 | 200 | 241 | 287
g(A) | 0,500 | 0,538 | 0,508 | 0,509 | 0,500 | 0,502 | 0,513
Ha ugyanezt a kísérletet elvégezzük 80; 160; 240; 320; 400; 480 és 560 dobással, látható, hogy a dobások számának növekedésével a gyakoriság is nő. A relatív gyakoriság pedig mindig 0,5 körül ingadozik. Az is megfigyelhető, hogy minél nagyobb a kísérletek száma (n), a relatív gyakoriság ingadozása annál kisebb.
A kísérlet során mindannyiszor más és más egymásutánját kapjuk a "fej" és "írás" eredményeknek, mégis az a törvényszerűség fog bekövetkezni, hogy a relatív gyakoriság a kísérletek számának növelésekor a 0,5 közelében fog ingadozni.

| Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény valószínűségének nevezzük.
Az A-esemény valószínűségét P(A)-val jelöljük. Mivel a relatív gyakoriság számértéke 0 és +1 között ingadozhat, hiszen k értékére fennáll 0≤k≤n , így a valószínűségre is igaz, hogy
0≤P( A )≤1
Másként megfogalmazva:
lim⁡g( A )=P( A )
A valószínűség és a relatív gyakoriság rokon fogalmak, sok esetben (tapasztalati úton) a relatív gyakoriságokon keresztül becsüljük meg adott esemény bekövetkezésének valószínűségét. A valószínűséget azonban formailag élesen meg kell különböztetni a relatív gyakoriságtól. Míg a valószínűség egy adott sztochasztikus modellben állandó, azaz rögzített szám, addig a relatív gyakoriság a véletlentől függően esetről esetre változik.
Ha egy esemény bekövetkezése lehetetlen, akkor kA-értéke minden n-re zérus, vagy a relatív gyakoriság és a valószínűség is zérus.
P( ∅ )=0
Ha egy esemény mindig bekövetkezik, akkor kA=n, a relatív gyakoriság és a valószínűség pedig 1-gyel egyenlő. Ez a biztos esemény.
P( H )=1
Megjegyzés:
Csak statisztikus szabályosságot (véletlen) mutató eseményeknél beszélünk valószínűségről. A valószínűség nem utal arra, hogy melyik esemény fog bekövetkezni legközelebb. Ha a kísérleti körülmények megváltoznak, akkor az esemény bekövetkezésének valószínűsége is megváltozik.
A valószínűség axiómái:
I. | 0≤P( A )≤1
II. | P( ∅ )=0 és P( H )=1
III. | Ha A és B egymást kizáró esemény ( A∩B=0 ), akkor P( A∪B )=P( A )+P( B )
IV. | Ha A1, A2, ...., An egymást kizáró események, vagyis A i ∩ A k =0 és i≠k , akkor P( A 1 ∪ A 2 ∪…∪ A n )=P( A 1 )+P( A 2 )+…+P( A n )
a) | Ha az A-esemény maga után vonja B-eseményt, azaz A⊂B fennáll, akkor P( B\A )=P( B )−P( A )
b) | Legyen A és B egy kísérlet két eseménye akkor annak valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik teljesül: P( A∪B )=P( A )+P( B )−P( A∩B )
c) | Ha A, B, C egy kísérlet három eseménye, akkor: P( A∪B∪C )=P( A )+P( B )+P( C )−P( A∩B )−P( A∩C )−P( B∩C )+P( A∩B∩C )
d) | Ha A1, A2, ..., An eseményrendszert alkotnak, akkor P( A 1 )+P( A 2 )+…+P( A n )=1
e) | Ha valamely kísérlet eredménye A-esemény és ennek ellentettje A ¯ -esemény, akkor P( A )+P( A ¯ )=1 Illetve P( A ¯ )=1−P( A )

| 2. bemutató feladat
Legyen A és B két esemény, és legyen P( A )= 1 2 és P( B )= 1 4 , valamint P( A∩B )= 1 12 . Határozzuk meg: a) P( A ¯ ) ; b) P( B ¯ ) ; c) P( A∪B ) ; d) P( A∪B ¯ ); e) P( A ¯ ∪ B ¯ ); f) P( A∩B ¯ ); g) P( A\B ) ; h) P( B\A ) események valószínűségét!
Megoldás:
a) P( A ¯ )=1−P( A )=1− 1 2 = 1 2 ;
b) P( B ¯ )=1−P( B )=1− 1 4 = 3 4 ;
c) P( A∪B )=P( A )+P( B )−P( A∩B )= 1 2 + 1 4 − 1 12 = 2 3 ;
d) P( A∪B ¯ )=1−P(A∪B)=1− 2 3 = 1 3 ;
e) P( A ¯ ∪ B ¯ )=P( A ¯ )+P( B ¯ )−P( A ¯ ∩ B ¯ )= 1 2 + 3 4 − 1 3 = 11 12 ;
f) P( A∩B ¯ )=1−P(A∩B)=1− 1 12 = 11 12 ;
g) P(A\B)=P(A∩ B ¯ )=P(A)−P(A∩B)= 1 2 − 1 12 = 5 12
h) P(B\A)=P(B∩ A ¯ )=P(B)−P(A∩B)= 1 4 − 1 12 = 2 12 .
3. bemutató feladat
Egy évfolyam diákjai angol, német és francia nyelvből tettek nyelvvizsgát. Legyen az A-esemény az angol, B-esemény a német és C-esemény a francia nyelvvizsgával rendelkező hallgatók. Az egyes események valószínűsége pedig az alábbi:
P( A )=0,35 | és | P( A∩B )=0,15 | illetve P( A∩B∩C )=0,10
P( B )=0,40 |  | P( A∩C )=0,20 |
P( C )=0,30 |  | P( B∩C )=0,20 |
Mi a valószínűsége annak, hogy ha kiválasztunk az évfolyamból egy hallgatót, az legalább az egyik nyelvből rendelkezik nyelvvizsgával?
Megoldás:
P( A∪B∪C )=P( A )+P( B )+P( C )−P( A∩B )−P( A∩C )−P( B∩C )+P( A∩B∩C ) =0,35+0,40+0,30-0,15-0,20-0,20+0,10=0,60
A kiválasztott hallgató 0,60 valószínűséggel rendelkezik legalább az egyik nyelvből nyelvvizsgával.

| Önellenőrző feladatok
1. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
| A kísérletek csak mesterséges úton állíthatóak elő.
| A kísérletek nem csak mesterséges úton állíthatóak elő.
| A kísérletekben mindig van emberi részvétel
2. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
| A relatív gyakoriság a kísérletek számát jelenti.
| A relatív gyakoriság az összes megfigyelés számát jelenti.
| A relatív gyakoriság az megfigyelések számát jelenti az összes megfigyeléshez viszonyítva.
3. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
| Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény valószínűségének nevezzük
| Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény valószínűségének nevezzük
| Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény relatív gyakoriságának nevezzük
4. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
| A valószínűségre igaz: 0≤P( A )≤1
| A valószínűségre igaz: 0<P( A )≤1
| A valószínűségre igaz: 0≤P( A )<1
5. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
| A lehetetlen események valószínűsége: P( A )=0
| A lehetetlen események valószínűsége: P( H )=0
| A lehetetlen események valószínűsége: P( ∅ )=0
6. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
| A teljes valószínűség: P( A )=1
| A teljes valószínűség: P( H )=1
| A teljes valószínűség: P( ∅ )=1
7. Egy készterméket két szempontból vizsgálnak meg. Az A-esemény azt jelenti, hogy a vizsgált termék anyaghibás, a B-esemény pedig azt, hogy mérethibás. Az alábbi valószínűségek ismertek: P( A )=0,15 ; P( B )=0,30 és P( A∩B )=0,08
Mi a valószínűsége annak, hogy valamely kiválasztott késztermék hibátlan? A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! Jelölje be a helyes eredményt!
| 0,37
| 0,63
| 0,33
| 0,47
8. A jeles matematika és jeles statisztika osztályzatot figyeljük meg. Legyen A-esemény a jeles matematika, és B-esemény a jeles statisztika osztályzat. Továbbá ismertek az alábbi valószínűségek: P( B )=0,11 ; P( A∪B )=0,16 ; P( A∩B )=0,09
Mi a valószínűsége annak, hogy a tetszőlegesen kiválasztott hallgatónak csak matematikából van jeles osztályzata? Jelölje be a helyes eredményt!
| 0,28
| 0,27
| 0,37
| 0,14
9. Egy irodaépület folyosóján két kávéautomata van elhelyezve. Legyen A-esemény az, hogy az első automata működik, és B-esemény, hogy a másik automata működik. A megfigyelések szerint: P( A )=0,8 ; P( B )=0,9 ; P( A∩B )=0,72 .
a) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az első automata működik, de a második nem!
| 0,18
| 0,08
| 0,008
| 0,018
b) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a második automata működik, de az első nem!
| 0,18
| 0,08
| 0,008
| 0,018
c) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy legalább az egyik automata működik!
| 0,18
| 0,58
| 0,88
| 0,98