KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: I. modul: Valószínűség számítás

3. lecke: Valószínűség-számítási tételek

| Tananyag
A valószínűségelmélet minden kísérletnél adott körülmények között vizsgál, és az események véletlen jellegét e körülmények határozzák meg. Egy-egy esemény bekövetkezésének valószínűségét nagymértékben befolyásolja egy másik esemény, illetve annak bekövetkezési valószínűsége.
3.1. Feltételes valószínűség
Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos tetszőleges két esemény, ahol a B-esemény valószínűsége nem nulla, azaz P( B )≠0 . Vizsgáljuk meg mennyi az A-esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha a B-esemény bekövetkezett. A vizsgált eseményt A\B-vel, a valószínűséget pedig P( A\B ) -val jelöljük. Az esemény bekövetkezésének valószínűsége:
P(A\B)= P(A∩B) P(B)
A P( A\B ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
Egy más megfogalmazás: feltéve, hogy B-esemény bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy az A-esemény bekövetkezik. A fentiekből kifejezett P(A∩B)=P(A\B)∗P(B) egyenlőséget a valószínűségek szorzási szabályának nevezzük.
A feltételes valószínűség többnyire nemcsak abból áll, hogy meghatározzuk P( A∩B ) és a P( B ) valószínűségeket.
Ha A és B egy H eseménytér két eseménye és P( B )≠0 , akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének szorzatával, azaz
P(A∩B)=P(A\B)∗P(B) , P( B )≠0
vagy
P(A∩B)=P(B\A)∗P(A) , P( A )≠0

| 1. bemutató feladat
Egy dobozban 10 fehér és 15 fekete golyó van. Találomra kiválasztunk egymás után 2 golyót visszatevés nélküli véletlen mintavétellel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a második alkalommal fehér golyót választunk ki, feltéve, hogy az első alkalommal is fehéret választottunk ki?
Megoldás:
Legyen az első kiválasztás az A-esemény, illetve a második kiválasztás a B-esemény. Keressük a P( B\A ) valószínűséget.
P(B\A)= P(A∩B) P(A) P(A∩B)= 10∗9 25∗24 = 9 60
P(A)= 10∗24 25∗24 = 24 60
P(B\A)= P(A∩B) P(A) = 9 60 24 60 = 9 24 =0,375
2. bemutató feladat
Egy áru 96%-a megfelel a minőségi előírásoknak, és ennek 60%-a I. osztályú, a többi II. osztályú termék. Válasszunk ki egy terméket az összes áruból. Mi a valószínűsége annak, hogy:
a) | I. osztályú árut választunk ki (A1-esemény)
b) | II. osztályú árut választunk ki (A2-esemény)
Megoldás:
a) | P( A 1 ) =0,96*0,6=0,576
b) | P( A 2 ) =0,96*0,4=0,384
Másképp megoldva: Legyen B-esemény az az esemény, hogy minőségileg megfelelő terméket választunk.
a) | P( B∩ A 1 )=P( A 1 \B )∗P( B ) =0,6*0,96=0,576
b) | P( B∩ A 2 )=P( A 2 \B )∗P( B ) =0,4*0,96=0,384
3. bemutató feladat
Egy versenyen 4 magyar, 5 orosz és 3 amerikai állt rajthoz. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első helyezett magyar, a második orosz, a harmadik szintén magyar lett, ha a versenyzők azonos esélyekkel indultak?
Megoldás:
Tekintsük a következő eseményeket:
| A 1-esemény: az első helyezett magyar lett
| A 2-esemény: a második helyezett orosz lett
| A 3-esemény: a harmadik helyezett magyar
A három esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét kell kiszámítani, azaz P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) értékét. A valószínűségek szorzási szabályát felhasználva: P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )=P( A 1 \ A 2 ∩ A 3 )∗P( A 2 ∩ A 3 )=P( A 1 \ A 2 ∩ A 3 )∗P( A 2 \ A 3 )∗P( A 3 )
Számítsuk ki a jobboldalon álló tényezőket! Összesen 12 versenyző indult, ebből 4 magyar, vagyis P( A 3 ) = 4/12 = 1/3.
P(a második orosz, feltéve, hogy a harmadik magyar)= P( A 2 \ A 3 ) =5/11, mivel a jó esetek száma 5 (hiszen ennyi orosz versenyző indult), az összes eset pedig 11 (mivel feltételeztük, hogy a harmadik helyezett magyar lett, így már csak 11 versenyző közül választhatunk).
P(az első magyar, feltéve, hogy a második orosz és a harmadik magyar)= P( A 1 \ A 2 ∩ A 3 ) =3/10, mert ekkor a jó esetek száma 3, az összes esetek száma pedig 10.
A fentiekből következik, hogy P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 3/10* 5/11* 1/3 = 1/22 ≈0,045.

| 3.2. Teljes valószínűség
Ha a B1, B2, ..., Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P( B i )≠0 (i=1, 2, ..., n), akkor A-esemény bekövetkezésének valószínűsége:
P(A)= ∑ i=1 n P(A \B i )∗P( B i )
Ez a teljes valószínűség tétele, mert egy A-esemény valószínűségét feltételes valószínűségekből határozza meg.

| 4. bemutató feladat
Van három dobozunk, mindegyikben fehér és fekete golyók vannak az alábbiak szerint:
I. | 2 fehér és 3 fekete golyó;
II. | 4 fehér és 1 fekete golyó;
III. | 3 fehér és 7 fekete golyó.
A kísérlet során 1/2 1/3, és 1/6 valószínűséggel kerülnek kiválasztásra az egyes dobozok. A kiválasztott dobozból kiveszünk 1 db golyót. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kivett golyó fehér?
Megoldás:
P( B 1 )= 1 2 ; P( B 2 )= 1 3 ; P( B 3 )= 1 6
P( A )=P( A\ B 1 )∗P( B 1 )+P( A\ B 2 )∗P( B 2 )+P( A\ B 3 )∗P( B 3 )
Az I. dobozban: P(A\B1)=2/5 A II. dobozban: P(A\B2)=4/5 A III. dobozban: P(A\B3)=3/10
P( A ) =2/5*1/2+4/5*1/3+3/10*1/6=0,5167
Azaz 0,5167 a valószínűsége annak, hogy a véletlenül kiválasztott dobozból fehér golyót veszünk ki
5. bemutató feladat
Eltévedtünk a piacon. A közelünkben négy ruhaárus, egy újságos és két virágárus van. A ruhaárusok 0,6 valószínűséggel tudják megmondani a helyes irányt, a virágárus nénik 0,7 valószínűséggel, az újságos szinte biztosan, 0,95 valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk, ha a közülük véletlenszerűen kérdezünk meg valakit?
Megoldás:
Tekintsük a következő eseményeket:
| A-esemény: helyes útbaigazítást kapunk
| B 1-esemény: valamelyik ruhaárustól kérdezzük meg a helyes irányt
| B 2-esemény: valamelyik virágárustól kérdezzük meg a helyes irányt
| B 3-esemény: az újságárustól kérdezzük meg a helyes irányt
Összesen 4+2+1=7 árus van a környéken. Annak a valószínűsége:
hogy ruhaárust választunk: P( B 1 )= 4 7 ; hogy virágárust választunk: P( B 2 )= 2 7 ; hogy az újságárust választjuk: P( B 3 )= 1 7 -t kapunk
feltéve,
hogy ruhaárustól kérdezünk: P( A\ B 1 )=0,6 a többi: P( A\ B 2 )=0,7 és P( A\ B 3 )=0,95 .
Írjuk fel a teljes valószínűség tételét: P( A )=P( A\ B 1 )∗P( B 1 )+P( A\ B 2 )∗P( B 2 )+P( A\ B 3 )∗P( B 3 ) = 0,6*4/7 +0,7*2/7+0,95*1/7 = 0,6786 Azaz 0,6786 valószínűséggel kapunk helyes útmutatást.

| 3.3. Bayes-valószínűség tétele
Ha B 1, B 2, ..., B n-események teljes eseményrendszert alkotnak, és P( B i )≠0 (i=1, 2, ..., n), továbbá A tetszőleges esemény, amelyre P( A )≠0 , akkor
P( B i \A)= P(A\B i )∗P( B i ) ∑ j=1 n P(A \B j )∗P( B j )
Ez Bayas-tétele, melyet a klasszikus valószínűség-számításban az "okok valószínűsége tételének" neveznek.

| 6. bemutató feladat
Van három dobozunk, mindegyikben fehér és fekete golyók vannak az alábbiak szerint:
I. | 2 fehér és 3 fekete golyó;
II. | 4 fehér és 1 fekete golyó;
III. | 3 fehér és 7 fekete golyó.
A kísérlet során 1/2 1/3, és 1/6 valószínűséggel kerülnek kiválasztásra az egyes dobozok. A kiválasztott dobozból kiveszünk 1 db golyót. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a húzás az első dobozból történik és a kivett golyó fehér lesz?
Megoldás:
P( B 1 )= 1 2 ; P( B 2 )= 1 3 ; P( B 3 )= 1 6 Az I.dobozban: P( A\ B 1 )= 2 5 A II. dobozban: P( A\ B 2 )= 4 5 A III. dobozban: P( A\ B 3 )= 3 10
P( B 1 \A)= P(A\B 1 )∗P( B 1 ) ∑ j=1 3 P(A \B j )∗P( B j ) = 2 5 ∗ 1 2 ( 2 5 ∗ 1 2 )+( 4 5 ∗ 1 3 )+( 3 10 ∗ 1 6 ) = 12 31 =0,3871
Azaz 0,3871 a valószínűsége annak, hogy az első dobozból fehér golyót veszünk ki
7. bemutató feladat
Labdarúgó edzésen jártunk. Tudjuk, hogy a résztvevő 20 játékos közül a csatárok (5 fő) 0,9 valószínűséggel, a középpályások (7 fő) 0,8, a védők (6 fő) 0,75, a kapusok (2 fő) 0,7 valószínűséggel lövik be a büntetőt. Látunk egy játékost, aki kihagyja a büntetőjét. Mi a valószínűsége, hogy ő csatár?
Megoldás:
Tekintsük a következő eseményeket:
A-esemény: a játékos kihagyja a büntetőt. B1-esemény: a véletlenszerűen választott játékos csatár: P( B 1 )= 5 20 =0,25 B2-esemény: a véletlenszerűen választott játékos középpályás: P( B 2 )= 7 20 =0,35 B3-esemény: a véletlenszerűen választott játékos védő: P( B 3 )= 6 20 =0,3 B4-esemény: a véletlenszerűen választott játékos kapus: P( B 4 )= 2 20 =0,1
P( A\ B 1 )=1−P( belövi\ B 1 )=1−0,9=0,1
Hasonlóan:
| P( A\ B 2 )=1−0,8=0,2 ,
| P( A\ B 3 )=1−0,75=0,25 ,
| P( A\ B 4 )=1−0,7=0,3 .
Alkalmazzuk a Bayes-tételt:
P( B 1 \A)= P(A\B 1 )∗P( B 1 ) ∑ j=1 4 P(A \B j )∗P( B j ) = 0,1∗0,25 (0,1∗0,25)+(0,2∗0,35)+(0,25∗0,3)+(0,3∗0,1) =0,125
Tehát az ismeretlen játékos 0,125 valószínűséggel csatár.

| 3.4. Események függetlensége
Ha két esemény A és B egymástól függetlenek, az azt jelenti, hogy az egyik bekövetkezésének valószínűségét a másik esemény bekövetkezésének valószínűsége nem befolyásolja. Ebben az esetben teljesül a P( A\B )=P( A ) , vagyis:
P( A∩B )=P( A )∗P( B )
Az A-eseményt két egymást kizáró eseményként is felírhatjuk:
A=( A∩B )∪( A∩ B ¯ )
és
( A∩B )∩( A∩ B ¯ )≠0
így
P( A )=P( A∩B )∪P( A∩ B ¯ )
Mivel:
P( A∩B )=P( A )∗P( B )
P( A∩ B ¯ )=P( A )−P( A∩B )=P( A )−P( A )∗P( B )=P( A )∗[ 1−P( B ) ]=P( A )∗P( B ¯ )

| 8. bemutató feladat
Egy elektromos készülék 3 alkatrésze egymástól függetlenül 02; 0,6; és 0,4 valószínűséggel hibásodik meg egy bizonyos hőmérséklet elérésekor. Ha a három alkatrész közül bármelyik meghibásodik, akkor a készülék nem működik. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a készülék az adott hőmérsékletet túllépve is még működik.
Megoldás:
P( A 1 )=0,8 ; P( A 2 )=0,4 ; P( A 3 )=0,6
P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )=P( A 1 )∗P( A 2 )∗P( A 3 )=0,8∗0,4∗0,6=0,192
0,192 annak valószínűsége, hogy az adott hőmérsékletet túllépve is még működik a készülék.

| Önellenőrző feladatok
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| A P( A∩B ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
| A P( A\B ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
| A P( A∪B ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
| A P( A/B ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
2. Feltételes valószínűség esetén:
| P( A∩B )=P( A∪B )∗P( B ) , P( B )≠0
| P( A∩B )=P( A∪B )∗P( A ) , P( A )≠0
| P( A∩B )=P( A/B )∗P( A ) , P( A )≠0
| P( A∩B )=P( A\B )∗P( B ) , P( B )≠0
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Feltételes valószínűség esetén egy A-esemény valószínűségét feltételes valószínűségekből határozzuk meg.
| Teljes valószínűség esetén egy A-esemény valószínűségét feltételes valószínűségekből határozzuk meg.
| Feltételes valószínűség esetén egy A-esemény valószínűségét teljes valószínűségekből határozzuk meg.
| Teljes valószínűség esetén egy A-esemény valószínűségét teljes valószínűségekből határozzuk meg.
4.Események függetlensége esetén:
| P( A∩B )=P( A )∗P( B )
| P( A∪B )=P( A )∪P( B )
| P( A∩B )=P( A )\P( B )
| P( A/B )=P( A )∗P( B )
5. Egy piacon két kereskedő árul körtét. Az egyiknek 100 kg I. osztályú, és 150 kg II. osztályú körtéje van. A másik eladónak 120 kg I. és 80 kg II. osztályú. Az első árusnak mindig szebb áruja van, mint a másodiknak, ezért 2-szer nagyobb valószínűséggel vásárolnak nála. 60 kg körte vásárlásakor mi a valószínűsége annak, hogy a második eladótól vásárolunk.
| 0,25
| 0,40
| 0,50
| 0,55
6. A 32 lapos magyar kártyából 3 lapot húzunk egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első kihúzott lap ász, a második tízes, a harmadik pedig ismét ász lesz.
| 0,0005
| 0,0037
| 0,0042
| 0,0016
7. Egy termékből két tételünk van, az egyikből 15 db, a másikból 20 db. Mindkét tételben 1 db hibás termék van. Az első tételből egy véletlenül kiválasztott darabot átteszünk a mások tételbe. Ezután ebből a tételből kiválasztunk egy terméket és megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége, hogy a kiválasztott termék selejtes?
| 0,091
| 0,088
| 0,078
| 0,051
8. Két dolgozó azonos alkatrészeket gyárt, az egyik 0,8, a másik 0,7 valószínűséggel I. osztályút. Az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek függetlenek egymástól. Az első dolgozótól 3 db, a másiktól 2 db elkészült alkatrészt választunk ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 kiválasztott alkatrész I. osztályú?
| 0,251
| 0,315
| 0,362
| 0,226
9. Feltéve, hogy egy háromgyerekes családban van fiú, mi a valószínűsége annak, hogy mind a három gyerek fiú?
| 1/7
| 2/7
| 3/7
| 4/7